1. 回溯算法：本质上就是一个决策树的遍历过程。全排列
void *res = []
def backtrack(路径, 选择列表):
if （满足结束条件）
res.push(路径) //将满足条件的排列推进返回列表
return res
for （选择;选择列表;）
做选择
backtrack(路径;选择列表;)//递归推进
撤销选择
其中需要理解透彻的就是 递归前后的选择与撤销选择， 回溯的思想就是返回，即进行了选择之后，在递归返回的时候对之前的选择进行撤销，这是回溯算法的精华所在。
看着很迷，不急，来一个全排列的问题，什么都清楚了。
2. 全排列问题
Leecode 46 全排列：给定一个 没有重复数字的序列，返回其所有可能的全排列。
学过排列组合的我们都很清楚排列组合的算法，也即是默认 1 位不变，交换2、3位，然后保持 2 不变，交换1、3位，依次保持 3 位不变，交换1、2位，这样就可以得出所有的排列组合。
用算法的思路：
我们定义递归函数 backtrack(first, output) 表示从左往右填到第 first 个位置，当前排列为 output。 那么整个递归函数分为两个情况：
- 如果 first==n，说明我们已经填完了 n 个位置（注意下标从 0 开始），找到了一个可行的解，我们将 output 放入答案数组中，递归结束。
- 如果 first<n，我们要考虑这第 first 个位置我们要填哪个数。根据题目要求我们肯定不能填已经填过的数，因此很容易想到的一个处理手段是我们定义一个标记数组 vis[] 来标记已经填过的数，那么在填第first 个数的时候我们遍历题目给定的 n个数，如果这个数没有被标记过，我们就尝试填入，并将其标记，继续尝试填下一个位置，即调用函数
backtrack(first + 1, output)。搜索回溯的时候要撤销这一个位置填的数以及标记，并继续尝试其他没被标记过的数。
伪代码如下：
void res[];
void backtrace(first,output)
{
if(first == n)
res.push(output);
return res:
for(int i = first; i < n ; i++)
{
do_something();//选择
backtrace(first+1,output);
~do_something();//取消选择
}
}
代码：
permute.cpp
static vector<vector<int>> res;
void backtrace(vector<vector<int>> &arr,vector<int> &output, int first,int len)
{
if (first == len)
{
res.push_back(output);//递归到最后一步才将排列推送进最后的返回数组中
return;
}
for (int i = first; i < len; i++)
{
swap(output[i],output[first]);//作好选择之后，进入递归
backtrace(res, output, first + 1, len);
swap(output[i],output[first]);//递归之后，返回最初的状态，所以需要对之前的操作进行撤销，或者弥补。
}
}
vector<vector<int>> permute(vector<int> &arr)//返回全排列
{
backtrace(res, arr, 0, arr.size());
return res;
}
mian.cpp
vector<int> arr = { 1,2,3 };
vector<vector<int>> res = permute(arr);
int n = 1;
for (size_t i = 0; i < res.size(); i++)
{
for (size_t j = 0; j < res[0].size(); j++)
{
cout << res[i][j] << " ";
if (n++ == 3)
{
cout << '\n';
n = 1;
}
}
}
3. N皇后问题
题目描述：给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘*’ 分别代表了皇后和空位。
皇后不能在同一行，同一列，以及同一对角斜线上。
SolveNQueens.cpp
bool IsValid(vector<string> &board, int rows, int col)
{
int n = board.size();
if (n == 0) return false;
//检查同列
for (int i = 0; i < rows; i++) {
if (board[i][col] == 'Q') {
return false;
}
}
//右上对角线
for (int i = rows - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++) {
if (board[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
//左上对角线
for (int i = rows - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
if (board[i][j] == 'Q') {
return false;
}
}
return true;
}
void backtrace(vector<string> &board, int rows,vector<vector<string>> &res)
{
//返回条件
if (rows == board.size())
{
res.push_back(board);
return;
}
//for 选择
for (size_t col = 0; col < board[rows].size(); col++)
{
while (!IsValid(board, rows, col))
{
col++;
}
//做选择与撤销选择
board[rows][col] = 'Q';
backtrace(board, rows + 1,res);
board[rows][col] = '.';
}
}
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
vector<vector<string>> res;
//初始化棋盘
vector<string> board(n, string(n, '.'));
backtrace(board, 0,res);
return res;
}
main.cpp
int main()
{
int n = 1;
vector<vector<string>> res = SolveNQueens(8);
for (size_t i = 0; i < res.size(); i++)
{
for (size_t j = 0; j < res[0].size(); j++)
{
string str = res[i][j];
StringCout(str);
}
cout <<"第"<< n++ <<"种"<<endl;
cout << " " << endl;
}
}
输出一共92种 8 皇后的解法。
