字符串-最小表示法

1.问题描述

给出一个长度为$n$的字符串$S$，其第$i$个字符为$S_i(0<=i<n)$。
可以重复执行操作：移除第$0$个字符，并将其插入到第$n-1$个位置。
找出所有可以通过上述操作得到的字符串中字典序最小的字符串，这个字典序最小的字符串被称为字符串$S$的最小表示。

2.算法流程

1.定义两个指针$i,j$，定义变量$k$，初始时，让$i$指向位置$0$，$j$指向位置$1$，$k=0$。
2.比较第$i+k$和第$j+k$个字符，
（这里默认为$x+k$为$(x+k)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，$x=i,j$）
若$S_{i+k}=S_{j+k}$，让$k=k+1$。
若$S_{i+k}>S_{j+k}$，让$i=i+k$，$k=0$。
若$S_{i+k}<S_{j+k}$，让$j=j+k$，$k=0$。
3.若$i=j$，让$i=i+1$
4.若$i>=n||j>=n||k>=n$，$min(i,j)$即为字典序最小的字符串的开头。否则，回到2。

3.证明

1.当$k=n$，因为算法保证$i!=j$，则可以证明字符串只由一个字符组成，那么任意$i,j$都为最小表示。
2.当$S_{i+k}!=S_{j+k}$，不妨假设$S_{i+k}>S_{j+k}$，则第$i,i+1,...,i+k$个位置一定不是字典序最小的字符串，设第$p$个位置为最小字符串$(i<=p<=i+k)$，则有
$S_p{S}_{p+1}...S_{i+k-1}=S_{j+p-i}{S}_{j+p-i+1}...S_{j+k-1}$，$S_{i+k}>S_{j+k}$
在$j,j+1,...,j+k$中存在对应比其字典序更小的字符串。
3.又$i,j$会把所有下标都扫描到，当$i>=n||j>=n$又必有$i,j$中某个指针的值小于$n$，而另一指针一定由于操作$2$或操作$3$而移动，故值小于$n$的指针则为最小表示字符串的开头。

4.复杂度

时间复杂度$O(n)$，空间复杂度$O(n)$，证明略。

5.代码

P1368 工艺 /【模板】最小表示法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,a[N];
int sol(int n,int a[N])
{
    if(n==1) return 0;
    int i=0,j=1,k=0;
    while(i<n&&j<n&&k<n)
    {
        if(i==j) i++;
        else if(a[(i+k)%n]==a[(j+k)%n]) k++;
        else if(a[(i+k)%n]>a[(j+k)%n]) i+=k+1,k=0;
        else j+=k+1,k=0;
    }
    return min(i,j);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    int ans=sol(n,a);
    for(int i=0;i<n;i++)
        printf(i==n-1?"%d\n":"%d ",a[(i+ans)%n]);
}