期末知识点复习——概率论与数理统计(5)

期末复习 第五、六章

第五章

1. 大数定理
2. 中心极限定理

• 大数定理：对于任意大于0的概率，只要重复独立实验的次数n充分大，几乎是必然发生的。

• 中心极限定理：

1. 独立同分布的中心极限定理：均值为$\mu$、方差为${\sigma }^2>0$的独立同分布的随机变量$X_i$之和，当n足够大的时候近似服从$N(\mu ,\sigma /n)$
2. 利亚普诺夫定理：无论各个随即变量$X_k$服从什么分布，只要满足定理的条件，那么当n很大的时候，他们的和近似服从正态分布
3. 一个名字很长我不会念的定理：我也看不懂它在说什么

第六章

1. 随机样本、箱线图
2. 抽样分布
3. ${\chi }^2$分布
4. $t$分布
5. $F$分布
6. 正态分布总体的样本均值与样本方差的分布

随机样本、箱线图

• 术语
  总体：全部可能的取值
  个体：每一个可能的取值
  容量：总体中个体的数量
  简单随机样本：n个服从同一个分布函数的随机变量
  样本p分位数：至少有$np$个观察值小于等于$x_p$，至少有$n(1-p)$个观察值大于等于$x_p$

• 箱线图：由箱子和直线组成的图形，基于：最小值，第一四分位数，中位数，第三四分位数，最大值
  中心位置：中位数所在的位置
  散布程度：全部数据都在最大值与最小值间，区间较短表示点集中，反之较分散
  对称性：看中心位置，在中间称为较为对称，在左边称之为向右倾斜，在右边称之为向左倾斜

抽样分布

在实际应用的时候并不是使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数

• 术语：
  统计量：样本的函数
  样本平均值：所有样本相加处以容量：$\overline{X}=1/n\sum X_i$
  样本方差：$1/(n-1)\sum (X_i-\overline{X}{)}^2=1/(n-1)(\sum X_i^2-n{\overline{X}}^2)$
  样本标准差：样本方差的平方根
  样本k阶矩：$A_k=1/n\sum X_i^k$
  样本k阶中心矩：$B_k=1/n\sum (X_i^k-\overline{X})$
  经验分布函数：与总体分布函数$F(x)$相对应
  $$F_n(x)=1/n\ast S(x)$$
  其中$S(x)$表示不大于$x$的随机变量的个数

特殊的统计量分布

${\chi }^2$分布

${\chi }^2={\sum }^n{X}_i^2$，$X_i$相互独立且$X_i\sim N(0,1)$
记作：${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$
称为：服从自由度为n的${\chi }^2$分布

$E({\chi }^2)=n$
$D({\chi }^2)=2n$

可加性：$X_i^2+X_j^2=X_{i+j}^2$
上$\alpha$分位点：$P({\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2(n))={\int }_{{\chi }_{\alpha }^2(n)}f(y)dy=\alpha$
n小于40，查表
n大于40，${\chi }_{\alpha }^2(n)=1/2(z_{\alpha }+\sqrt{(}2n-1){)}^2$
其中，$z_{\alpha }$为标准正态分布的上$\alpha$分位点

t分布

$X\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，二者相互独立，
$t=X/\sqrt{(}Y/n)$
n充分大，近似于$N(0,1)$
$n>1$，$E(T)=0$
$n>2$，$D(T)=n/(n-2)$
$t_{1-\alpha }(n)=-t_{\alpha }(n)$
上$\alpha$分位点：n小于等于45查表，n大于45，$t_{\alpha }(n)=z_{\alpha }$

F分布

$X\sim {\chi }^2(n_i)、Y\sim {\chi }^2(n_2)$，
$F=(U/n_1)/(V/n_2)$=>$F\sim F(n_1,n_2)$
$1/F\sim F(n_2,n_1)$
$n>2$，$E(F)=n_2/(n_2-2)$
$n>4$，$D(F)=(2n_2(n_1+n_2-2))/(n_2(n_2-2{)}^2(n_2-4))$

正态分布样本均值和样本方差的分布

$X$均值为$\mu$、方差为${\sigma }^2$，$\overline{X}$为样本均值，$S^2$为样本方差
$E(\overline{X}=\mu$，$D(\overline{X})={\sigma }^2/n$
$E(S^2)={\sigma }^2$

• $\overline{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$=>$(\overline{X}-\mu )/(\sigma /\sqrt{n})\sim N(0,1)$
• $(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-1)$
• $S^2$与$\overline{X}$独立
• $(\overline{X}-\mu )/(S/\sqrt{n}\sim t(n-1)$
• $(S_1^2/S_2^2)/({\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2)\sim F(n_1-1,n_2-1)$
• ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$时，公式太长了自己看课本