期末知识点复习——概率论与数理统计(4)

期末复习 概率论与数理统计 第四章

1. 数学期望
2. 方差
3. 协方差、相关系数
4. 矩、协方差矩阵
5. 几种重要的数学期望和方差

看完知识点记得刷课后习题！！！

数学期望

注意：绝对收敛！

• 离散型
  $E(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$

• 连续型
  $E(X)={\int }_{\infty }^{\infty }xf(x)dx$

复合变量的数学期望：
$Y=g(X)$
$E(Y)=E[g(X)]={\sum }_{k=1}^{\infty }g(x_k)p_k$
$E(Y)=E[g(X)]={\int }_{\infty }^{-\infty }g(x)f(x)dx$

性质：

1. $E(CX+Y)=CE(X)+E(Y)$，$E(XY)=E(X)E(Y)$（独立）$=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)$（不独立）

方差

D ( X ) = E { [ X − E ( X ) ] 2 } = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X)=E\{[X-E(X)]^2\}=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E{ [X−E(X)]2}=E(X2)−[E(X)]2
标准差：$\sigma (X)=\sqrt{D(X)}$

对于离散型：
$D(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }[x_k-E(X){]}^2{p}_k$
对于连续型：
$D(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }[x-E(X){]}^{2}f(x)dx$

• 标准化变量
  数学期望$E(X)=\mu$，方差$D(x)={\sigma }^2$，则记$X\ast =X-\mu /\sigma$
  称之为标准化变量
  其方差为1、数学期望为0

性质：

1. $D(C)=0$
2. $D(C_{1}X+C_2)=C_1^{2}D(X)$
3. D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) + 2 E { ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) } D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\} D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{ (X−E(X))(Y−E(Y))}。若独立，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$，不独立，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$
4. $D(X)=0$<=>$X$为常数$E(X)$

协方差及相关系数

• 协方差
  $Cov(X,Y)=E(X-E(X))(Y-E(Y))=E(XY)-E(X)E(Y)$
  =>$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+Cov(X,Y)$
  则当独立时，$Cov(X,Y)=0$
  即$Cov(X,Y)!=0$时，$X、Y$之间有某种关系

• 相关系数
  $${\rho }_{XY}=Cov(X,Y)/(\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)})$$

协方差的性质：

1. $Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$
2. $Cov(X,X)=D(X)$
3. $Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$
4. $Cov(X_i+X_j,Y)=Cov(X_i,Y)+Cov(X_j,Y)$

相关系数的性质

1. $|{\rho }_{XY}|\le 1$
2. $|{\rho }_{XY}|=1$<=>存在$a$、$b$，$PY=a+bX=1$
3. ${\rho }_{XY}=0$，称$X$、$Y$不相关

若相互独立，则${\rho }_{XY}=0$，X、Y不相关
若X、Y不相关，X、Y却不一定相互独立（因为不相关只是相对于线性关系而言，而相互独立是相对于一般关系而言的）

当X、Y服从二维正态分布的时候，X、Y不相关和X、Y相互独立是等价的