从“汉诺塔”看递归算法

递归算法是《数据结构与算法》中最简洁的算法之一，它可以非常简明地描述“减而治之”（decrease and conquer）和“分而治之”（divide and conquer）这两种算法思想。递归算法虽然从代码角度来看非常简单，但对于新手理解起来却不那么简单。本文我将结合《数据结构与算法》的专业描述和《程序员的数学》的通俗描述，并以“汉诺塔”为例来讲解我对“递归”算法的理解，并给出 Python 代码描述。

一、汉诺塔迷题

“汉诺塔”是由数学家 Edouard Lucas 于1883 年发明的游戏，具体内容可以看 wiki - 汉诺塔，下面给出 3 层汉诺塔的移动示意图：
这里写图片描述
从上图可以观察到，过程 1、2、3 和过程 5、6、7是非常相似的，前者将 2 个圆盘从 A 移到 C ；后者将 2 个圆盘从 C 移到 B 。总结如下：

二、递归思维

从上面对“汉诺塔”迷题的观察和分析可以清楚的反映“递归”的思维方式：当我们碰到“简单问题易解（一层汉诺塔），复杂问题难解（多层汉诺塔）”时，尝试问自己“能将复杂的问题转化为较为简单的同类问题吗？”
这就是递归的思维方式，对于汉诺塔来说，就是将 n 层汉诺塔转换为 n-1 层汉诺塔问题，即在问题中找出递归结构。
这里写图片描述
如果找到了递归结构，接下来就是根据递归结构建立递归公式

{\begin{matrix} H (n) = H (n - 1) + 1 + H (n - 1) \\ H (1) = 1 \end{matrix}

$\left\{\begin{matrix} H(n) = H(n-1) + 1 + H(n-1)\\ H(1)=1 \end{matrix}\right.$ 上面的式子就是递推方程，而递推方程实际上是一种微分方程，它的特点是：只给出一个隐式的方程式和一个边界条件（又称初始条件），然后求解出显示方程式，即求出微分方程的解析式。

H (n) = 2^{n} - 1

$H(n) = 2^n-1$ 这就是 n 层汉诺塔移动的步数。

换成专业术语来描述：递归算法的关键就是找到递归基（base case）和递推公式（recursion relation, recurrence）。其中，递归基一般比较容易找到，而递推公式往往隐藏在大量的细节中，需要我们去分析提取。一般来说，分析提出递归公式，先要归纳出递归实例（同类问题，规模不同），比如 n 层汉诺塔问题和 n-1 层汉诺塔问题。有了递归实例的概念，然后需要逆向思维（倒推），即观察构成更大规模问题的最后几步。比如：6 层汉诺塔 A –> B 移动完成前，最后一步（一大步）必然是将一个 5 层汉诺塔 C –> B 移动，而倒数第二步必然是最大的圆盘 A –> B 移动。很明显，这两步都可以概括为一个递归实例。倒推出了这两步，你也就明白了前面的所有步骤无非就是将一个 5 层汉诺塔 A –> B 移动。至此，就找到了 6 层汉诺塔问题的递归结构，然后再推广到 n 层汉诺塔问题。

三、代码实现

下面通过代码来体会汉诺塔问题的递归算法

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

r'''
tower_of_hanoi.py

Usage:

python3 tower_of_hanoi.py
'''

def move(n, source, target, auxiliary):
    # base case
    if n == 1:
        print(source, '-->', target)
        return

    # first step: move n - 1 disks from source to auxiliary, so they are out of the way
    move(n-1, source, auxiliary, target)

    # second step: move the nth disk from source to target
    move(1, source, target, auxiliary)

    # last step: move the n - 1 disks that we left on auxiliary onto target
    return move(n-1, auxiliary, target, source)


if __name__ == '__main__':
    # initiate call from source A to target C with auxiliary B
    move(3, 'A', 'C', 'B')

从上面的代码可以看出：递归算法的确很简洁，真个算法，除了 base-case 外，就剩三次递归调用，这三次递归调用也清晰的描述了该问题的递归结构。