自动控制理论（5）——二阶系统的时域分析

系列文章目录

自动控制理论（1）——自动控制理论概述
自动控制理论（2）——控制系统的数学模型（微分方程、传递函数
自动控制理论（3）——控制系统的数学模型（系统框图和信号流图
自动控制理论（4）——系统的时域性能指标和一阶系统的时域分析

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一、二阶系统数学模型

开环$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{s(s+2\zeta {\omega }_n)}$
闭环$\varphi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$
特征方程$s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$
$\zeta$——阻尼比
${\omega }_n$——无阻尼自然振荡角频率
$\sigma =\zeta {\omega }_n$——衰减系数
${\omega }_d={\omega }_n\surd (1-{\zeta }^2)$——系统的阻尼振荡角频率

二、二阶系统单位阶跃响应

1.$\zeta =0$(零阻尼)

响应曲线为等幅振荡曲线。

2.$\zeta >1$( 过阻尼)

两个不等负实根

3.$\zeta =1$( 临界阻尼)

两个相等的负实根

4.$0<\zeta <1$( 欠阻尼)

两个共轭复根$s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\surd (1-{\zeta }^2)$
阻尼角$\beta =t{g}^{-1}\frac{\surd (1-{\zeta }^2)}{\zeta }$

5.总结

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三 、欠阻尼二阶系统性能指标计算

1.上升时间$t_r$

$t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_n\surd (1-{\zeta }^2)}$
阻尼比一定时，响应速度与${\omega }_n$成正比；
阻尼振荡频率${\omega }_d$一定时，阻尼比越小，上升时间越短。

2.峰值时间$t_p$

$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_n\surd (1-{\zeta }^2)}$
峰值时间与闭环极点的虚部成反比，闭环极点离负实轴越远，峰值时间越短。

3.超调量$\sigma \%$

$\sigma \%=e^{\frac{-\zeta \pi }{\surd (1-{\zeta }^2)}}$
超调量只与阻尼比有关，阻尼越大，超调越小。

4.调节时间$t_s$

$t_s=\frac{4}{\zeta {\omega }_n}$ ($\Delta =2\%$)
或$t_s=\frac{3}{\zeta {\omega }_n}$ ($\Delta =5\%$)

5.延迟时间$t_d$

当$0<\zeta <1$ 时，$t_d=\frac{1+0.7\zeta }{{\omega }_n}$
增大自然频率或减小阻尼比，可以减小延迟时间。

四 、具有零点的二阶系统分析

1、原系统条件不变时，附加一个闭环零点，将使二阶系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小
2、零点距离极点越近，上述影响越显著
3、零点距离虚轴很远时，零点影响可忽略