1.贝叶斯定理有什么用：
为了解决“逆概率”问题，它可以根据过去的数据来预测出概率，在有限的信息下，能够预测出概率。
2.什么是贝叶斯定理：
公式： P(A|B) = P(A) * [P(B|A)/P(B)]
1）P(A)：先验概率，即在不知道B事件的前提下，我们对A事件概率的一个主观判断。
2）P(B|A)/P(B)：可能性函数，这是一个调整因子，即新信息B带来的调整，作用是使得先验概率更接近真实概率。
2.1.如果“可能性函数”P(B|A)/P(B) > 1，意味着“先验概率”被增强，事件A的发生的可能性变大；
2.2.如果“可能性函数”= 1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；
2.3.如果“可能性函数”< 1，意味着“先验概率”被削弱，事件A的可能性变小；
3）P(A|B)：后验概率，即在B事件发生以后，我们对A事件概率的重新评估。
3.应用案例：
1）全概率公式：这个公式的作用是计算贝叶斯定理中的P(B)
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')
含义：如果A和A'构成一个问题的全部（全部的样本空间），那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
案例题：1号碗（30颗巧克力+10颗水果糖）、2号碗（20颗巧克力+20颗水果糖）
问：把碗盖住，随机选择一个碗，从里面摸出一颗巧克力，这颗巧克力来自1号碗的概率有多少？
解：来着1号碗记为事件A1,来着2号碗记为事件A2，那么问题即为P(A|B)【即取出的是巧克力，来着1号碗的概率】
1）求先验概率：
由于两个碗是一样的，所以在得到新信息（取出的是巧克力之前），这两个碗被选择的概率相同。因此P(A1) = P(A2) = 0.5（A1表示来着1号碗，A2表示来着2号碗）
2）求可能性函数 P(B|A)/P(B)：
P(B|A1)表示从1号碗中（A1)取出巧克力(B)的概率
因为1号碗里有30颗巧克力+10颗糖，所以P(B|A1) = 30/(30+10) = 75%
P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) = [30/(30+10)]*0.5 + [20/(20+20)]*0.5 = 62.5%
可能性函数P(B|A1)/P(B) = 75%/62.5% = 1.2
3）带入贝叶斯公式求后验概率：
P(A1|B) = P(A1)*[P(B|A1)/P(B)] = 50%*1.2 =60%
2）如果将公式中的A换成“规律”，B换成“现象”：
P(规律|现象) = P(现象|规律)[P(规律)/P(现象)]
还以前案例分析：这儿有两个规律（从1号碗来规律、从2号碗来规律），有两个现象（巧克力现象、水果糖现象）。而且知道两个碗是一模一样的，所以两个规律的概率是一样的，P(从1号碗来规律) = P(从2号碗来规律) = 0.5。同时知道P(巧克力现象|从1号碗来规律) = 30/（30+10）=0.75，P(水果糖现象|从1号碗来规律)=10/（30+10）=0.25；P(巧克力现象|从2号碗来规律) = 20/（20+20）=0.5 = P(水果糖现象|从2号碗来规律)。另外，P(巧克力现象)=（30+20）/（30+10+20+20）=0.625，P(水果糖现象)=（10+20)/(30+10+20+20)=0.375。现在的问题是观察到了一个巧克力现象，要求推断后面的规律，即从1号碗来的规律的概率有多大，也就是P(从1号碗来规律|巧克力现象)：
P(从1号碗来规律|巧克力现象) = P(巧克力现象|从1号碗来规律)*[P(从1号碗来规律)/P(巧克力现象)] = 0.75*[0.5/0.625]=60%
举例2：
1所学校里有60%的男生，40%的女生。男生总是穿长裤，女生则一半穿长裤、一半穿裙子。假设你走在校园里，迎面走来一个穿长裤的学生，问男生的概率是多大？
这儿有两个规律（是男生规律、是女生规律），而且知道规律的发生概率P(是男生规律)=0.6，P(是女生规律)=0.4。有两种现象（穿长裤现象、穿裙子现象），假设有10个学生，6个男生、4个女生，那么P(穿长裤现象)=（6+2）/10=0.8，P(穿裙子现象)=2/10=0.2。另外，P(穿长裤现象|是男生规律)=6/6=1，P(穿裙子现象|是男生规律)=0，P(穿长裤现象|是女生规律) = P(穿裙子现象|是女生规律)=0.5。现在，看到了一个穿长裤的学生，需要推断是男生的概率，即P(是男生规律|穿长裤现象)：
P(是男生规律|穿长裤现象) = P(穿长裤现象|是男生规律)*[P(是男生规律)/P(穿长裤现象)]=1*[0.6/0.8]=0.75
举例3：
一辆出租车在雨夜肇事，现场有一个目击者说，看见该车是蓝色。已知：1.该目击者识别蓝色和绿色出租车的准确率是80%；2.该地的出租车85%是绿色的，15%是蓝色的。问：那辆肇事车是蓝色的概率有多大？
有两个规律：蓝色的车、绿色的车，有两个现象（或者叫观察、数据、采样等等）：车被看成蓝色、车被看成绿色。从例子中的信息可知：P(绿色的车)=0.85，P(蓝色的车)=0.15。P(车被看成蓝色|蓝色的车)=0.8，P(车被看成绿色|蓝色的车)=0.2，P(车被看成绿色|绿色的车)=0.8，P(车被看成蓝色|绿色的车)=0.2。假设该地有100辆出租车，那么，85辆是绿色的、15辆是蓝色的。再者，目击者只有80%的准确率，那么，车被看成蓝色的有：是蓝色的看成了蓝色的=15*0.8=12，是绿色的看成了蓝色的=85*0.2=17，总计12+17=29，所以P(车被看成蓝色)=29/100=0.29
P(蓝色的车|车被看成蓝色) = P(车被看成蓝色|蓝色的车)*[P(蓝色的车)/P(车被看成蓝色)] = 0.8*[0.15/0.29]=0.4138
为了解决“逆概率”问题，它可以根据过去的数据来预测出概率，在有限的信息下，能够预测出概率。
2.什么是贝叶斯定理：
公式： P(A|B) = P(A) * [P(B|A)/P(B)]
1）P(A)：先验概率，即在不知道B事件的前提下，我们对A事件概率的一个主观判断。
2）P(B|A)/P(B)：可能性函数，这是一个调整因子，即新信息B带来的调整，作用是使得先验概率更接近真实概率。
2.1.如果“可能性函数”P(B|A)/P(B) > 1，意味着“先验概率”被增强，事件A的发生的可能性变大；
2.2.如果“可能性函数”= 1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；
2.3.如果“可能性函数”< 1，意味着“先验概率”被削弱，事件A的可能性变小；
3）P(A|B)：后验概率，即在B事件发生以后，我们对A事件概率的重新评估。
3.应用案例：
1）全概率公式：这个公式的作用是计算贝叶斯定理中的P(B)
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')
含义：如果A和A'构成一个问题的全部（全部的样本空间），那么事件B的概率，就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
案例题：1号碗（30颗巧克力+10颗水果糖）、2号碗（20颗巧克力+20颗水果糖）
问：把碗盖住，随机选择一个碗，从里面摸出一颗巧克力，这颗巧克力来自1号碗的概率有多少？
解：来着1号碗记为事件A1,来着2号碗记为事件A2，那么问题即为P(A|B)【即取出的是巧克力，来着1号碗的概率】
1）求先验概率：
由于两个碗是一样的，所以在得到新信息（取出的是巧克力之前），这两个碗被选择的概率相同。因此P(A1) = P(A2) = 0.5（A1表示来着1号碗，A2表示来着2号碗）
2）求可能性函数 P(B|A)/P(B)：
P(B|A1)表示从1号碗中（A1)取出巧克力(B)的概率
因为1号碗里有30颗巧克力+10颗糖，所以P(B|A1) = 30/(30+10) = 75%
P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) = [30/(30+10)]*0.5 + [20/(20+20)]*0.5 = 62.5%
可能性函数P(B|A1)/P(B) = 75%/62.5% = 1.2
3）带入贝叶斯公式求后验概率：
P(A1|B) = P(A1)*[P(B|A1)/P(B)] = 50%*1.2 =60%
2）如果将公式中的A换成“规律”，B换成“现象”：
P(规律|现象) = P(现象|规律)[P(规律)/P(现象)]
还以前案例分析：这儿有两个规律（从1号碗来规律、从2号碗来规律），有两个现象（巧克力现象、水果糖现象）。而且知道两个碗是一模一样的，所以两个规律的概率是一样的，P(从1号碗来规律) = P(从2号碗来规律) = 0.5。同时知道P(巧克力现象|从1号碗来规律) = 30/（30+10）=0.75，P(水果糖现象|从1号碗来规律)=10/（30+10）=0.25；P(巧克力现象|从2号碗来规律) = 20/（20+20）=0.5 = P(水果糖现象|从2号碗来规律)。另外，P(巧克力现象)=（30+20）/（30+10+20+20）=0.625，P(水果糖现象)=（10+20)/(30+10+20+20)=0.375。现在的问题是观察到了一个巧克力现象，要求推断后面的规律，即从1号碗来的规律的概率有多大，也就是P(从1号碗来规律|巧克力现象)：
P(从1号碗来规律|巧克力现象) = P(巧克力现象|从1号碗来规律)*[P(从1号碗来规律)/P(巧克力现象)] = 0.75*[0.5/0.625]=60%
举例2：
1所学校里有60%的男生，40%的女生。男生总是穿长裤，女生则一半穿长裤、一半穿裙子。假设你走在校园里，迎面走来一个穿长裤的学生，问男生的概率是多大？
这儿有两个规律（是男生规律、是女生规律），而且知道规律的发生概率P(是男生规律)=0.6，P(是女生规律)=0.4。有两种现象（穿长裤现象、穿裙子现象），假设有10个学生，6个男生、4个女生，那么P(穿长裤现象)=（6+2）/10=0.8，P(穿裙子现象)=2/10=0.2。另外，P(穿长裤现象|是男生规律)=6/6=1，P(穿裙子现象|是男生规律)=0，P(穿长裤现象|是女生规律) = P(穿裙子现象|是女生规律)=0.5。现在，看到了一个穿长裤的学生，需要推断是男生的概率，即P(是男生规律|穿长裤现象)：
P(是男生规律|穿长裤现象) = P(穿长裤现象|是男生规律)*[P(是男生规律)/P(穿长裤现象)]=1*[0.6/0.8]=0.75
举例3：
一辆出租车在雨夜肇事，现场有一个目击者说，看见该车是蓝色。已知：1.该目击者识别蓝色和绿色出租车的准确率是80%；2.该地的出租车85%是绿色的，15%是蓝色的。问：那辆肇事车是蓝色的概率有多大？
有两个规律：蓝色的车、绿色的车，有两个现象（或者叫观察、数据、采样等等）：车被看成蓝色、车被看成绿色。从例子中的信息可知：P(绿色的车)=0.85，P(蓝色的车)=0.15。P(车被看成蓝色|蓝色的车)=0.8，P(车被看成绿色|蓝色的车)=0.2，P(车被看成绿色|绿色的车)=0.8，P(车被看成蓝色|绿色的车)=0.2。假设该地有100辆出租车，那么，85辆是绿色的、15辆是蓝色的。再者，目击者只有80%的准确率，那么，车被看成蓝色的有：是蓝色的看成了蓝色的=15*0.8=12，是绿色的看成了蓝色的=85*0.2=17，总计12+17=29，所以P(车被看成蓝色)=29/100=0.29
P(蓝色的车|车被看成蓝色) = P(车被看成蓝色|蓝色的车)*[P(蓝色的车)/P(车被看成蓝色)] = 0.8*[0.15/0.29]=0.4138