贝叶斯定理：
贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率（或边缘概率）的一则定理。其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。
贝叶斯定理也称贝叶斯推理。
了解贝叶斯定理之前要先了解一下内容：
1、条件概率
是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。条件概率可以用决策树进行计算。
2、联合概率
指的是包含多个条件且所有条件同时成立的概率，记作P(X=a,Y=b)或P(a,b)，有的书上也习惯记作P(ab)，但是这种记法个人不太习惯，所以下文采用以逗号分隔的记法。
3、边缘概率
边缘概率是与联合概率对应的，P(X=a)或P(Y=b)，这类仅与单个随机变量有关的概率称为边缘概率
4、联合概率与边缘概率的关系
P(X=a)=∑bP(X=a,Y=b)
P(X=a)=∑bP(X=a,Y=b)
5、全概率
若事件A1，A2，…构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件B，有如下公式成立：
P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + … +P(B|An)P(An).
此公式即为全概率公式。
特别地，对于任意两随机事件A和B，有如下成立：
其中A和为对立事件。
此公式即为全概率公式。
特别地，对于任意两随机事件A和B，有如下成立：
二、贝叶斯定理
贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 )提出，即：
P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
有了条件概率公式，贝叶斯定理的推导和证明非常简单。
根据条件概率定义：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
同理P(B|A)=P(BA)/P(A)
则:P(AB)=P(A|B)P(B),P(BA)=P(B|A)P(A)
P(AB)表示A、B同时发生的概率，
P(BA)表示B、A同时发生的概率，
根据交换律，P(AB)=P(BA)
所以，P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
则：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)
先验概率：知道原因推结果的，P(原因)、P(结果|原因)等
后验概率：根据结果推原因的，P(原因|结果)等
P(A)称为“先验概率”（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。
P(A|B)称为“后验概率”（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。
P(B|A)/P(B)称为“调整因子”，调整因子可以大于1，也可以小于1，即B事件发生后，对A事件发生的概率是增强作用还是削弱作用。
即贝叶斯定理可表述成：
后验概率 = 调整因子 * 先验概率
贝叶斯公式解决的是一些原因X无法直接观测、测量，而我们希望通过其结果Y来反推出原因X的问题，也就是知道一部分先验概率，来求后验概率的问题。
举个栗子：
打到怪物就能获得宝箱，但是宝箱有2/3的概率是陷阱，玩家可以通过魔法来检查，但是有1/4的误判概率，问：假设玩家利用魔法判定此宝箱没有陷阱，求宝箱有陷阱的概率
我们已知的先验概率有
P(有陷阱)=2/3；P(没有发现|有陷阱)=1/4；P（发现了|没有陷阱)=1/4
要求的后验概率为
P(有陷阱|没有发现)
我们依旧使用面积来帮助我们解题，根据已知划分出的面积情况如下图所示
我们可以推得：
联立两式我们就可以得到一个由已知条件求P(有陷阱|没有发现)的式子
这就是对应于此题的贝叶斯公式。它的的一般形式如下：
其中“…”的部分需要列出X所有可能的值，并求和。
在记忆贝叶斯公式时，很容易搞错竖线左右两侧的值，因此建议大家在习惯使用贝叶斯公式时，最好先根据定义与性质当场推导，而不要仅仅凭记忆默写。
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