《SLAM十四讲》第四讲 李群与李代数 习题5证明

《SLAM十四讲》，主要是针对第四讲 第5题这个证明题，进行展开。
网上其他的各种证明方法，都稍微有点复杂。所以有如下这个方法。

1. 习题5的证明： $R{p}^{\wedge }{R}^T=(Rp{)}^{\wedge }$

我们提前需要知道:

1. 向量叉乘$u\times v=u^{\wedge }v$，空间一点$p\in {\mathbb{R}}^3$，
2. 旋转矩阵R: $R{R}^T=R^{T}R=I$。
3. 此外，用到了一个向量叉乘的知识点，对任意的2个向量$u,v$，向量叉乘的旋转变换不变性，即对2个向量先旋转$Ru,Rv$，再叉乘$(Ru)\times (Rv)$，等于2向量先叉乘$u\times v$，再旋转$R(u\times v)$。
   $R(u\times v)=(Ru)\times (Rv)$.

上述的几何性质，来源于叉乘的基本性质。参考如下。
引用：

From the geometrical definition, the cross product is invariant under proper rotations about the axis defined by $a\times b$. In formulae:
$(R\mathbf{a})\times (R\mathbf{b})=R(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$,
where $R$ is a rotation matrix with $\det (R)=1$.

这个结论，就是我们上面用到的，对向量的叉乘的旋转不变性。

More generally, the cross product obeys the following identity under matrix transformations:
$(T\mathbf{a})\times (T\mathbf{b})=(\det T){\left(T^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=\mathrm{cof}T(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$,
where $T$ is a 3-by-3 matrix and ${\left(T^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}$ is the transpose of the inverse and $\mathrm{cof}$ is the cofactor matrix. It can be readily seen how this formula reduces to the former one if $T$ is a rotation matrix.

更一般的说，任意的$3\times 3$变换矩阵$T$都满足上式。

参考内容: Algebraic properties of Corss product.叉乘的几何性质。