方程求根之二分法

二分法

二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。

1 基本思想

利用连续函数零点定理，将含根区间逐次减半缩小构造点列来逼近根。

2 构造原理

设连续函数$f(x)$在$[a,b]$只有一个根，满足$f(a)f(b)<0$。

1. 记$I_0=[a,b]$，取区间中点$x_0=0.5(a+b)$
2. 判别$f(x_0)$的值
   1. 若$f(x_0)=0$，则$x^{\ast }=x_0$，停止
   2. 若$f(xₒ)\cdot f(a)<0$, 记 $I_1=[a,x_0]$；否则，记$I_1=[x_0,b]$
3. 记$I_1=[a_1,b_1]$，再取$x_1=0.5(a_1+b_1)$
4. 若$x_1$满足根精度要求，则$x^{\ast }\approx x_1$，停止；否则，$I_1$代替$I_0$。转到第1步

3 分析

3.1 求根数列

记第$k$次二分得到的含根区间为$I_k=[a_k,b_k]$，则二分法对应的求根数列算式为
$$x_k=0.5(a_k+b_k)$$

3.2 收敛性

由于
$$x^{\ast }\in I_k,k=0,1,\cdots \Rightarrow I_0\supset I_1\supset I_2\cdots$$
因此
$$|x^{\ast }-x_k|\le \frac{1}{2}(b_k-a_k)=\frac{1}{2^2}(b_{k-1}-a_{k-1})=\cdots =\frac{1}{2^{k+1}}(b-a)$$
故
$$\frac{1}{2^{k+1}}(b-a)\to 0\Rightarrow x_k\to x^{\ast }$$

3.3 计算次数控制

由于
$$|x^{\ast }-x_k|\le \frac{1}{2^{k+1}}(b-a)$$
对给定的计算精度$ϵ>0$，要成立$|x^{\ast }-x_k|<ϵ$ ，让
$$\frac{1}{2^{k+1}}(b-a)\le ϵ\Rightarrow k>\frac{\ln (b-a)-\ln ϵ}{\ln 2}-1$$
即满足精度要求的二分次数为$k>\frac{\ln (b-a)-\ln ϵ}{\ln 2}-1$

又由于
$$|b_k-a_k|=2|x_k-x_{k-1}|\Rightarrow |x^{\ast }-x_k|\le |x_k-x_{k-1}|$$
于是，满足精度的根可取使$|x_k-x_{k-1}|\le ϵ$成立的$x_k$ 。

3.4 二分法的误差估计

1. 事先估计：
   $$k>\frac{\ln (b-a)-\ln ϵ}{\ln 2}-1$$

2. 事后估计：
   $$|x^{\ast }-x_k|\le |x_k-x_{k-1}|$$

事先估计的$k$往往偏大，主要用于理论估计。
事后估计的$k$往往较小，主要用于实际控制。

4 例题及代码

用二分法求方程$2x^3-5x-1=0$在区间$[1,2]$内的根，绝对误差$ϵ\le 10^{-2}$。

% 二分法求方程在[a,b]区间、误差小于等于epsilon下的近似根
function result = dichotomy(epsilon,a,b)
f=@(x)2*x^3-5*x-1;
m=(a+b)/2;
while ~(abs(a-b)<epsilon || f(m)==0)
    m = (a+b)/2;
    if f(a)*f(m) < 0
        b = m;
    else
        a = m;
    end
end
result = (a+b)/2;
fprintf("近似解为：%.6f",result);
end