文章目录
诱导公式
- 锐角的三角函数是简单易求(易于表示)
- 对于任意角之间,其各个三角函数之间存在某些关系需要讨论
- 最基础最常用的三角函数诱导公式口诀
同终边角
- 在直角坐标系中, α , α + 2 k π \alpha,\alpha+2k\pi α,α+2kπ, k ∈ K k\in\mathbb{K} k∈K的终边相同,则由三角函数定义,容易知道这两个的三角函数相等
- cos ( α + 2 k π ) = cos α \cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha cos(α+2kπ)=cosα
- sin ( α + 2 k π ) = sin α \sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha sin(α+2kπ)=sinα
- tan ( α + 2 k π ) = tan α \tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alpha tan(α+2kπ)=tanα
任意角的三角函数周内化
- 根据同终边角三角三角函数的关系,所有绝对值超过一周( 2 π 2\pi 2π或 − 2 π -2\pi −2π)的任意角都可以转换为绝对值小于 2 π 2\pi 2π的的角来计算
相反角
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关于 x x x轴对称的角
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α \alpha α的相反角为 − α -\alpha −α
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显然,相反角的终边关于 x x x轴对称,由三角函数的定义,有
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cos ( − α ) \cos(-\alpha) cos(−α)= cos α \cos\alpha cosα
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sin ( − α ) \sin(-\alpha) sin(−α)= − sin α -\sin\alpha −sinα
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tan ( − α ) \tan(-\alpha) tan(−α)= sin ( − α ) / cos ( − α ) \sin(-\alpha)/\cos(-\alpha) sin(−α)/cos(−α)= − tan α -\tan\alpha −tanα
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小结
- cos α \cos\alpha cosα是偶函数,而 sin α , tan α \sin\alpha,\tan\alpha sinα,tanα都是奇函数
任意角的负角正化
- 由相反角的结论,任意负角可以转换为正角计算和表示
- 例如 cos ( − π 4 ) \cos(-\frac{\pi}{4}) cos(−4π)= cos π 4 \cos\frac{\pi}{4} cos4π; sin ( − 7 π 3 ) \sin(-\frac{7\pi}{3}) sin(−37π)= − sin 7 π 3 -\sin\frac{7\pi}{3} −sin37π, tan ( − π 3 ) \tan(-\frac{\pi}{3}) tan(−3π)= − tan π 3 -\tan\frac{\pi}{3} −tan3π
原点对称角
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角 α \alpha α始边为 x x x轴正半轴的直角坐标系上, α \alpha α的终边关于原点终边对应的角表示为 α + ( 2 k + 1 ) π \alpha+(2k+1)\pi α+(2k+1)π或 α + ( 2 k − 1 ) π \alpha+(2k-1)\pi α+(2k−1)π, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z;不妨把这类角称为 α \alpha α的原点对称角
- 在 [ 0 , 2 π ) [0,2\pi) [0,2π)内的 α \alpha α的终边关于原点对称的终边表示为 α ± π \alpha\pm{\pi} α±π
- 再根据同终边的角的生成公式,得原点对称角表示式
- 关于原点对称的两条终边上的点坐标符号都取反
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α \alpha α与其原点对称角 α + ( 2 k + 1 ) π \alpha+(2k+1)\pi α+(2k+1)π的三角函数关系:
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cos ( α + ( 2 k + 1 ) π ) \cos(\alpha+(2k+1)\pi) cos(α+(2k+1)π)= − cos α -\cos\alpha −cosα
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sin ( α + ( 2 k + 1 ) π ) \sin(\alpha+(2k+1)\pi) sin(α+(2k+1)π)= − sin α -\sin\alpha −sinα
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tan ( α + ( 2 k + 1 ) π ) \tan(\alpha+(2k+1)\pi) tan(α+(2k+1)π)= tan α \tan\alpha tanα
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任意角锐角化
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令奇数集合为 N 1 = { 2 k ∣ k ∈ Z } N_1=\set{2k|k\in{\mathbb{Z}}} N1={ 2k∣k∈Z},偶数集合为 N 2 = { 2 k + 1 ∣ k ∈ Z } N_2=\set{2k+1|k\in\mathbb{Z}} N2={ 2k+1∣k∈Z}
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sin ( α + k π ) \sin(\alpha+k\pi) sin(α+kπ)= { − sin α k ∈ N 1 sin α k ∈ N 2 \begin{cases}-\sin\alpha&k\in{N_1}\\ \sin\alpha&k\in{N_2}\end{cases} { −sinαsinαk∈N1k∈N2
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cos ( α + k π ) \cos(\alpha+k\pi) cos(α+kπ)= { − cos α k ∈ N 1 cos α k ∈ N 2 \begin{cases}-\cos\alpha&k\in{N_1}\\ \cos\alpha&k\in{N_2}\end{cases} { −cosαcosαk∈N1k∈N2
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tan ( α + k π ) \tan(\alpha+k\pi) tan(α+kπ)= tan α \tan\alpha tanα, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z
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经过上面的分析和讨论可知,任意角都可以化为 α + k π \alpha+k\pi α+kπ, ( ∣ α ∣ ⩽ π 2 ) (|\alpha|\leqslant\frac{\pi}{2}) (∣α∣⩽2π)的形式
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然后根据 α , − α \alpha,-\alpha α,−α的三角函数关系进一步转换为 [ 0 , π 2 ] [0,\frac{\pi}{2}] [0,2π]内的锐角三角函数进行表示和计算
小结
- 上述前3组公式:(三种终边关系对应3组公式)
- 同终边角
- 相反角
- 原点对称角
- 统称为诱导公式,可借助任意角的终边来推理和记忆公式
- 利用诱导公式,可以用于求三角函数式的值或化简三角函数式
互补角
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两个角互补 ( α , π − α ) (\alpha,\pi-\alpha) (α,π−α),则它们的终边关于 y y y轴对称
- π − α \pi-\alpha π−α可以看作时 − α + π -\alpha+\pi −α+π,即先关于 x x x轴对称画出 − α -\alpha −α终边,然后再作 − α -\alpha −α关于原点对称的 − α + π -\alpha+\pi −α+π
- 分别按 α \alpha α的终边在4个象限时的情况证明,均可得到相同结论: α , π − α \alpha,\pi-\alpha α,π−α关于 y y y轴对称
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已知 α \alpha α, π − α \pi-\alpha π−α互为补角,则 sin ( π − α ) \sin(\pi-\alpha) sin(π−α)= sin α \sin\alpha sinα; cos ( π − α ) \cos(\pi-\alpha) cos(π−α)= − cos α -\cos\alpha −cosα
- 其中 π − α \pi-\alpha π−α相当于 α \alpha α关于 x x x轴对称后,再关于原点对称
- sin ( π − α ) \sin(\pi-\alpha) sin(π−α)= − sin ( − α ) -\sin(-\alpha) −sin(−α)= − ( − sin α ) -(-\sin\alpha) −(−sinα)= sin α \sin\alpha sinα
- 类似的, cos ( π − α ) \cos(\pi-\alpha) cos(π−α)= − cos ( − α ) -\cos(-\alpha) −cos(−α)= − cos α -\cos\alpha −cosα
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总之,两个互为补角的正弦值相等,余弦值互为相反数
与 π 2 \frac{\pi}{2} 2π相关的角表达式的三角函数
- 公式(后两个可以将前两个中的 α \alpha α代替为 − α -\alpha −α得到, 5 ∼ 8 5\sim{8} 5∼8可由各自与前两个公式的比值关系直接得到)
- cos ( α + π 2 ) \cos(\alpha+\frac{\pi}{2}) cos(α+2π)= − sin α -\sin\alpha −sinα;
- sin ( α + π 2 ) \sin(\alpha+\frac{\pi}{2}) sin(α+2π)= cos α \cos\alpha cosα
- cos ( − α + π 2 ) \cos(-\alpha+\frac{\pi}{2}) cos(−α+2π)= sin α \sin\alpha sinα;
- sin ( − α + π 2 ) \sin(-\alpha+\frac{\pi}{2}) sin(−α+2π)= cos α \cos\alpha cosα
- tan ( α + π 2 ) \tan(\alpha+\frac{\pi}{2}) tan(α+2π)= − cot α -\cot{\alpha} −cotα
- cot ( α + π 2 ) \cot(\alpha+\frac{\pi}{2}) cot(α+2π)= − tan α -\tan\alpha −tanα
- tan ( − α + π 2 ) = cot α \tan(-\alpha+\frac{\pi}{2})=\cot{\alpha} tan(−α+2π)=cotα
- cot ( − α + π 2 ) \cot(-\alpha+\frac{\pi}{2}) cot(−α+2π)= tan α \tan\alpha tanα
α , α + π 2 \alpha,\alpha+\frac{\pi}{2} α,α+2π
- 讨论 α \alpha α和 α + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2} α+2π的三角函数关系,我们借助
- 终边和单位圆的交点坐标(横,纵坐标分别反映角 α \alpha α的正弦值和余弦值)
- 以及直角坐标系上的直线 y = ± x y=\pm x y=±x辅助(过渡)
- P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)和 Q ( y , x ) Q(y,x) Q(y,x)关于 y = x y=x y=x对称
- 例如 ( 2 , 1 ) (2,1) (2,1), ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2);又如 ( 1 , − 2 ) (1,-2) (1,−2), ( − 2 , 1 ) (-2,1) (−2,1)
- P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)和 Q ( − y , − x ) Q(-y,-x) Q(−y,−x)关于 y = − x y=-x y=−x对称
- 例如 ( 2 , 1 ) , ( − 1 , − 2 ) (2,1),(-1,-2) (2,1),(−1,−2);又如 ( 1 , − 2 ) (1,-2) (1,−2), ( 2 , − 1 ) (2,-1) (2,−1)
- P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)和 Q ( y , x ) Q(y,x) Q(y,x)关于 y = x y=x y=x对称
- 关于坐标轴对称的点的坐标关系
- P ( x , y ) , Q ( x , − y ) P(x,y),Q(x,-y) P(x,y),Q(x,−y)关于 x x x轴对称
- P ( x , y ) , Q ( − x , y ) P(x,y),Q(-x,y) P(x,y),Q(−x,y)关于 y y y轴对称
- 事实上, α \alpha α可以通过2次合适的轴对称变换,变换到 α + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2} α+2π
- 设 α \alpha α终边和单位圆交于点 P ( cos α , sin α ) P(\cos\alpha,\sin\alpha) P(cosα,sinα)
- 以 α \alpha α式第一象限角为例讨论
- 第1次轴对称变换关于直线 y = x y=x y=x,得到的新坐标为记为 M M M,由对称可知 M ( sin α , cos α ) M(\sin\alpha,\cos\alpha) M(sinα,cosα),终边 O M OM OM的对应的角: ( π 2 − α ) + 2 k π , k ∈ Z (\frac{\pi}{2}-\alpha)+2k\pi,k\in\mathbb{Z} (2π−α)+2kπ,k∈Z
- 第2次轴对称变换关于 x = 0 x=0 x=0,得到的新坐标为 N N N,由 N N N与 M M M关于 x = 0 x=0 x=0对称,所以 N ( − sin α , cos α ) N(-\sin\alpha,\cos\alpha) N(−sinα,cosα);角 α + π 2 \alpha+\frac{\pi}{2} α+2π的终边就是 O N ON ON, N ( cos ( α + π 2 ) , sin ( α + π 2 ) ) N(\cos(\alpha+\frac{\pi}{2}),\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})) N(cos(α+2π),sin(α+2π))
- 所以 cos ( α + π 2 ) \cos(\alpha+\frac{\pi}{2}) cos(α+2π)= − sin α -\sin\alpha −sinα; sin ( α + π 2 ) \sin(\alpha+\frac{\pi}{2}) sin(α+2π)= cos α \cos\alpha cosα
- 运用类似的手法,可以完全归纳 α \alpha α在4个象限时都有相同的结论(公式)成立
α , α − π 2 \alpha,\alpha-\frac{\pi}{2} α,α−2π
- α − π 2 \alpha-\frac{\pi}{2} α−2π= − ( − α + π 2 ) -(-\alpha+\frac{\pi}{2}) −(−α+2π)
- 可以由上一组的公式直接推出,例如
- cos ( α − π 2 ) \cos(\alpha-\frac{\pi}{2}) cos(α−2π)= cos ( − ( − α + π 2 ) ) \cos(-(-\alpha+\frac{\pi}{2})) cos(−(−α+2π))= cos ( − α + π 2 ) \cos(-\alpha+\frac{\pi}{2}) cos(−α+2π)= sin α \sin\alpha sinα
- sin ( α − π 2 ) \sin(\alpha-\frac{\pi}{2}) sin(α−2π)= sin ( − ( − α + π 2 ) ) \sin(-(-\alpha+\frac{\pi}{2})) sin(−(−α+2π))= − sin ( − α + π 2 ) -\sin(-\alpha+\frac{\pi}{2}) −sin(−α+2π)= − cos α -\cos\alpha −cosα
- ⋯ \cdots ⋯
总结@口诀
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通过对三角函数的诱导公式的研究,归纳,人们总结出了一套口诀,以便快速完成如下形式的换算
- U ( α + k ⋅ π 2 ) U(\alpha+k\cdot{\frac{\pi}{2}}) U(α+k⋅2π), k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z到 V ( α ) V(\alpha) V(α)
- 其中 U , V U,V U,V表示 sin , cos \sin,\cos sin,cos中的一种函数名, U , V U,V U,V可能取相同的函数名
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这里介绍最常用的一句口诀,主要用于 sin , cos \sin,\cos sin,cos
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“奇变偶不变,符号看象限”
- 奇变偶不变:
- 若 k k k是偶数,则 U , V U,V U,V的函数名一样,例如都是 sin \sin sin或者都是 cos \cos cos,即函数名不变
- 若 k k k是奇数,函数名改变( sin → cos ; cos → sin \sin\to\cos;\cos\to{\sin} sin→cos;cos→sin)
- 符号看象限:
- 符号指的是正负号
- 将 α \alpha α视为锐角,然后判断 α + k ⋅ π 2 \alpha+k\cdot{\frac{\pi}{2}} α+k⋅2π终边所处的象限
- 该终边(对应的角)在三角函数U下的符号作为 V V V的符号,简单说就是公式两边同号
- 例 cos ( − 19 π 4 ) \cos(-\frac{19\pi}{4}) cos(−419π)= cos ( 19 4 π ) \cos(\frac{19}{4}\pi) cos(419π)= cos ( 3 π 4 + 4 π ) \cos(\frac{3\pi}{4}+4\pi) cos(43π+4π)= cos 3 4 π \cos{\frac{3}{4}\pi} cos43π= cos ( π 2 + π 4 ) \cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}) cos(2π+4π)= − sin π 4 -\sin\frac{\pi}{4} −sin4π= − 2 2 -\frac{\sqrt{2}}{2} −22
- 奇变偶不变:
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其他三角函数都可以转换为 sin , cos \sin,\cos sin,cos进行计算,因此不是很有必要记
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若需要可其他口诀参考其他资料