基本公式
$sin^2(α) + cos^2(α) = 1$
在单位圆中，$sin(α)$与$cos(α)$为直角边，斜边为1，利用勾股定理即可
和角公式
$sin(α+β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$
$cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)$
$tan(α+β) = \frac{tan(α) + tan(β)}{1 - tan(α)tan(β)}$
差角公式
$sin(α-β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)$
$cos(α-β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)$
$tan(α-β) = \frac{tan(α) - tan(β)}{1 + tan(α)tan(β)}$
和角公式差角公式的推导
在单位圆中，用向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OB}$分别代表角$α,β$的重边，$x$轴正半轴为始边，则
$\overrightarrow{OA} = (cos(α), sin(α)), \overrightarrow{OB} = (cos(β), sin(β))$
则 $\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB} = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)$
设其夹角为$θ$，则$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}|·|\overrightarrow{OB}| cos(θ) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)$
因此$cos(α-β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)$
又因为$cos(α+β) = cos(α-(-β))$，因此有$cos(α+β) = cos(α)cos(-β) + sin(α)sin(-β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)$
又因为诱导公式$sin(α) = cos(\frac{π}{2}-α)$
因此$sin(α+β) = cos(\frac{π}{2}-α-β) = cos(\frac{π}{2}-α)cos(β)+sin(\frac{π}{2}-α)sin(β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)$
同理可推得$sin(α-β)$
$tan(α+β) = \frac{sin(α+β)}{cos(α+β)} = \frac{sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)}{cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)}$
上下同时除以$cos(α)cos(β)$，即可得$tan(α+β) = \frac{tan(α) + tan(β)}{1 - tan(α)tan(β)}$
同理可推得$tan(α-β)$