示例1：\(y'=x^2+y^2\) 定义域R：|x|≤1,|y|≤1，初值(0,0)，求一个近似解与真解的误差不超过0.05。

这是一个不可解的一阶微分方程，我们只能求其近似解

令\(f(x,y)=x^2+y^2\)

a=1,b=1，\(M=\max_R{f(x,y)}=\max_R(x^2+y^2)=2\)，\(h=\min\{a,{b\over M}\}={1\over 2}\)，\(L=\max{f_y'}=\max{2y}=2\)

故\(|x|≤{1\over 2}\)，则第n次的近似解与真解的误差为

\(|φ_n(x)-φ(x)|≤M⋅{L^nh^{n+1}\over (n+1)!}={2⋅2^n⋅({1\over 2})^{n+1}\over (n+1)!}={1\over (n+1)!}<0.05\)

得n=3

由初始值(0,0)可得

\(φ_0=0\)

\(φ_1=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_0(ξ))dξ=\int_0^xξ^2dξ={x^3\over 3}\)

\(φ_2=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_1(ξ))dξ=\int_0^x(ξ^2+{ξ^6\over 9})dξ={x^3\over 3}+{x^7\over 63}\)

\(φ_3=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_2(ξ))dξ=\int_0^x(ξ^2+({ξ^3\over 3}+{ξ^7\over 63})^2)dξ=\int_0^x(ξ^2+{ξ^6\over 9}+{2ξ^{10}\over 189}+{ξ^{14}\over 3969})dξ\)

\(={x^3\over 3}+{x^7\over 63}+{2x^{11}\over 2079}+{x^{15}\over 59535}\)

该近似解即为满足要求的近似解。

示例2：y'=x+y+1，y(0)=0的Picard序列，并由此取极限求解

令f(x,y)=x+y+1

\(φ_0=0\)

\(φ_1=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_0(ξ))dξ=\int_0^x(ξ+1)dξ={x^2\over 2}+x\)

\(φ_2=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_1(ξ))dξ=\int_0^x(ξ+1+{ξ^2\over 2}+ξ)dξ={x^3\over 3!}+x^2+x\)

\(φ_3=y_0+\int_{x_0}^xf(ξ,φ_2(ξ))dξ=\int_0^x(ξ+1+{ξ^3\over 6}+ξ^2+ξ)dξ={x^4\over 4!}+{x^3\over 3}+x^2+x\)

由规律可得

\(φ_n={x^{n+1}\over (n+1)!}+2({x^n\over n!}+{x^{n-1}\over (n-1)!}+...+{x\over 2})={x^{n+1}\over (n+1)!}+2({x^n\over n!}+{x^{n-1}\over (n-1)!}+...+x+1)-x-2\)

\(\lim_{n->∞}φ_n(x)=φ(x)=2e^x-x-2\)

为方程的真解。

这里需要说明的是

\(\lim_{n->∞}{x^{n+1}\over (n+1)!}=0\)，可以参考微分方程整理中的命题5有说明

\(\lim_{n->∞}({x^n\over n!}+{x^{n-1}\over (n-1)!}+...+x+1)=e^x\)，可以参考高等数学整理中的两个重要的极限

但其实这是一个一阶线性非齐次方程，是可解的

P(x)=1,Q(x)=x+1

根据一阶线性非齐次方程的通解公式，有

\(y=e^{∫P(x)dx}∫Q(x)e^{−∫P(x)dx}dx+Ce^{∫P(x)dx}=e^{\int1dx}\int(x+1)e^{-\int1dx}dx+Ce^{\int1dx}\)

\(=e^x\int{x+1\over e^x}dx+Ce^x=-e^x\int{x+1\over e^x}d(-x)+Ce^x=-e^x\int(x+1)d(e^{-x})+Ce^x\)

\(=-e^x[(x+1)e^{-x}-\int{e^{-x}d(x+1)}]+Ce^x=-e^x[(x+1)e^{-x}+\int{e^{-x}d(-x)}]+Ce^x\)

\(=-e^x[(x+1)e^{-x}+e^{-x}]+Ce^x\)

\(=-e^x(e^{-x}+xe^{-x}+e^{-x})+Ce^x=Ce^x-x-2\)

由y(0)=0代入，得C=2，故满足初始条件的特解为

\(y=2e^x-x-2\)

解的延拓

\({dy\over dx}=x^2+y^2\)
y(0)=0

R：|x|≤1,|y|≤1

这里我们知道

\(|x|≤h={1\over 2}\)

如果我们增大定义域R的范围，如

R：|x|≤2,|y|≤2，此时

a=2,b=2，\(M=\max_R{f(x,y)}=\max_R(x^2+y^2)=8\)，\(h=\min\{a,{b\over M}\}={1\over 4}\)

故

\(|x|≤h={1\over 4}\)

由此可见随着定义域越大，解的区间反而会越小。

为了克服这个缺陷，我们需要对解进行延拓。

上图中，过(0,0)的解在\(-{1\over 2}\)和\({1\over 2}\)之间，当函数曲线到达\(({1\over 2},1)\)的时候，我们以\(({1\over 2},1)\)为一个新的初始点，继续以解的存在唯一性定理，又可以确定一个新的定义域\(R_1\),在\(({1\over 2},1)\)的左边与原函数曲线重合，在\(({1\over 2},1)\)的右边会延伸出一段新的函数曲线，假设此时的\(h=h_2\)，原\(h=h_1={1\over 2}\)，此时解的存在范围由\(x_0+h_1\)变成了\(x_0+h_1+h_2\)，当x抵达\(x_0+h_1+h_2\)的时候继续做一个有界闭域，函数f(x,y)关于y又满足利普希兹条件的话，又可以应用一次解的存在唯一性定理。

我们一直做这样的延拓，可以向左延拓，也可以向右延拓，假设\({dy\over dx}=x^2+y^2\)本身的有界闭域是G的话，一直延拓是可能延拓到G的边界的，但有时候也到不了边界，可能会存在一条如上图中的竖线，x抵达该竖线时，\({dy\over dx}=∞\)，那么此时函数曲线会无限接近该竖线的向上延伸。

该定理就是解的延拓定理。解能够存在的最大区间，我们称为饱和解，即y=φ(x)向左向右不能再延拓了。

这里f(x,y)是连续函数，即满足了解的存在性，而关于y满足局部的利普希兹条件即可，该条件比满足全局的利普希兹条件更弱。如果y满足全局利普希兹条件的话，在每一个点都满足利普希兹条件，所以就有了解的延拓定理。

定理3：(解的延拓定理)如果右端函数f(x,y)在有界闭域G内连续，关于y满足局部利普希兹条件，此时

\({dy\over dx}=f(x,y)\)
\(y(x_0)=y_0\)

的解是一定可以延拓的。以向x增大的方向来说，y=φ(x)可以延拓到\([x_0,d)\)上，当x->d时，解(x,φ(x))是趋于G的边界的。

推论：如果G是无界区域，在延拓定理中，过\((x_0,y_0)\)的解y=φ(x)，以向x增大的方向来说，它的延拓情况有两种

\((x_0,∞)\)
\((x_0,d)\) d是一个有限数

φ(x)是无界的。

示例1：\({dy\over dx}={y^2-1\over 2}\)过点(0,0)，(ln2,-3)的解的存在区间。

虽然这个微分方程是变量分离的可解方程，但我们这里不需要解方程也可以看出

y=1
y=-1

是方程的两个直线解

令\(f(x,y)={y^2-1\over 2}\)，是一个连续函数，且y满足利普希兹条件L=y，则过初始值(0,0)的解一定是存在且唯一。

当|y|<1时，f(x,y)<0，即\(y'={dy\over dx}<0\)，说明解y=φ(x)是单调递减的。在通过y''来观察其凹凸性。

这是一个在x<0时无限逼近于y=1，x>0无限逼近于y=-1的单调递减的曲线。而解的存在区间为(-∞,+∞)，则根据

\({dy\over dx}={y^2-1\over 2}\)
y(0)=0

有\(x\in(-∞,+∞)\)，这是一个饱和解

现在我们再来看看过(ln2,-3)的情况，过这个初始点的解也是存在且唯一的。

由于\(y_0=-3\)，即\(|y|>1\)，f(x,y)>0，即\(y'={dy\over dx}>0\)，说明解y=φ(x)是单调递增的。

由于解是存在且唯一，从(ln2,-3)出发向x增大的方向是逼近y=-1的，不能超过y=-1，否则解就不是唯一的了。

从(ln2,-3)出发向x减小的方向，随着y的减小，\(y^2->∞\)，说明y'->∞不存在，函数曲线会向下无限逼近于y轴，即x值只能逼近于0而无法到达0，故

\({dy\over dx}={y^2-1\over 2}\)
y(ln2)=-3

有\(x\in(0,+∞)\)，这两个区间都是最大区间，而不是局部区间。

解对初值的连续性和可微性

定理4：设f(x,y)于定义域D内连续且关于y满足利普希兹条件，y=φ(x)是

\({dy\over dx}=f(x,y)\) a≤x≤b
\(y(x_0)=y_0\)

的解，\(a≤x_0≤b\)，给定任意的ε>0，必存在正数δ使得

\((x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2≤δ^2\)

时，方程满足

\(y(x_1)=y_1\)

在区间[a,b]也有定义，且

\(|φ(x,x_1,y_1)-φ(x,x_0,y_0)|<ε\)

此时称为连续的。

用上图来表示就是在某个点的邻域内(就是上图中那个圈)，任取一个初始点，所得到的函数都不会跟原函数的差值太大。

定理5：解对初值的可微性

\({∂φ\over ∂x_0}=-f(x_0,y_0)e^{\int_{x_0}^x{∂f(x,φ)\over ∂y}dx}\)
\({∂φ\over ∂y_0}=e^{\int_{x_0}^x{∂f(x,φ)\over ∂y}dx}\)

当满足了解对初值连续的情况下，还满足上面的偏导数公式，则解对初值还是可微的。该条件的证明较为繁琐，但是与函数的可微性的原理是一样的，有关函数可微的含义可以参考高等数学整理中微分的定义。

线性微分方程的一般理论

给定n个函数

\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)

要判断这些线性函数是线性相关还是线性无关(有关线性相关和线性无关可以参考线性代数整理中的线性相关和线性无关)，我们需要构造新的行列式

W(t)=

这是一个n阶行列式，称为朗斯基行列式。有关行列式的内容可以参考线性代数整理(三) 中的行列式

定理2：如果函数\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)在定义区间[a,b]上线性相关，则W(t)=0

证：若函数\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)线性相关，则有一组不全为0的常数\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)，使得

\(C_1x_1(t)+C_2x_2(t)+C_3x_3(t)+...+C_nx_n(t)=0\)

我们可以根据上式不断对其两端求1到n-1阶导数，都有

\(C_1x_1'(t)+C_2x_2'(t)+C_3x_3'(t)+...+C_nx_n'(t)=0\)

\(C_1x_1''(t)+C_2x_2''(t)+C_3x_3''(t)+...+C_nx_n''(t)=0\)

...

\(C_1x_1^{(n-1)}(t)+C_2x_2^{(n-1)}(t)+C_3x_3^{(n-1)}(t)+...+C_nx_n^{(n-1)}(t)=0\)

这是一个齐次线性方程组，由于\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)不全为0，说明关于未知数\(C_i\)的齐次线性方程组有非0解，齐次线性方程组有非0解的充要条件为系数行列式的值为0，即W(t)=0。

对于定理2来说，反之是不成立的，如两个分段函数

\(x_1(t)=t^2\) -1≤t<0
\(x_1(t)=0\) 0≤t≤1

以及

\(x_2(t)=0\) -1≤t<0
\(x_2(t)=t^2\) 0≤t≤1

在[-1,0)区间上，W(t)==0；

在[0,1]区间上，W(t)==0

虽然在[-1,1]上，W(t)都等于0，现在来看函数本身，设有\(C_1,C_2\)两常数，使得

在[-1,0)区间上，\(C_1t^2+C_20=0\)

\(C_1t^2=0\)，由于\(t≠0\)，只得\(C_1=0\)

在[0,1]区间上，\(C_10+C_2t^2=0\)

\(C_2t^2=0\)，虽然这里t可以等于0，但是在0<t≤1时，要使的等式也成立，也只得\(C_2=0\)

这里就有\(C_1=C_2=0\)，全都为0，则\(x_1(t)和x_2(t)\)是线性无关的，故定理2反之不成立。但如果\(W(t)≠0\)，则一定是线性无关的。

定理3：\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)是线性高阶微分方程

\({d^nx\over dt}+a_1(t){d^{n-1}x\over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}(t){dx\over dt}+a_n(t)x=0\)

的解，则\(x_i(t)\)之间线性无关，则W(t)在这个区间[a,b]上的任何点处都不等于0，\(W(t)≠0\)，对∀ t∈[a,b]。

证：设\(∃ t_0∈[a,b]\) s.t. \(W(t_0)=0\)

\(W(t_0)=\)=0

此时我们可以构造方程组

\(C_1x_1(t_0)+C_2x_2(t_0)+C_3x_3(t_0)+...+C_nx_n(t_0)=0\)
\(C_1x_1'(t_0)+C_2x_2'(t_0)+C_3x_3'(t_0)+...+C_nx_n'(t_0)=0\)
\(C_1x_1''(t_0)+C_2x_2''(t_0)+C_3x_3''(t_0)+...+C_nx_n''(t_0)=0\)
...
\(C_1x_1^{(n-1)}(t_0)+C_2x_2^{(n-1)}(t_0)+C_3x_3^{(n-1)}(t_0)+...+C_nx_n^{(n-1)}(t_0)=0\)

这是一组以\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)为未知数的齐次线性方程组，而该齐次线性方程组的系数行列式的值又等于0，说明该齐次线性方程组有非0解。我们假设这组非0解为\(C_1^*,C_2^*,C_3^*,...,C_n^*\)，这样就构造了原方程的新解

\(x(t)=C_1^*x_1(t)+C_2^*x_2(t)+C_3^*x_3(t)+...+C_n^*x_n(t)\)

这是一个线性组合，有关线性组合可以参考线性代数整理中的线性组合

由于\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)是原方程的解，根据解的叠加原理，所以x(t)也是原方程的解。

当\(t=t_0\)时，则有

\(x(t_0)=C_1^*x_1(t_0)+C_2^*x_2(t_0)+C_3^*x_3(t_0)+...+C_n^*x_n(t_0)=0\)

其各阶导数同样满足我们构造出来的方程组，由原方程可以看出x(t)=0也是原方程的解，它们都满足解的初始条件( 以\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)为未知数的齐次线性方程组)，由于解的存在唯一性

\(x(t)=C_1^*x_1(t)+C_2^*x_2(t)+C_3^*x_3(t)+...+C_n^*x_n(t)\)
x(t)=0

相矛盾，故有

\(C_1^*x_1(t)+C_2^*x_2(t)+C_3^*x_3(t)+...+C_n^*x_n(t)=0\)

且\(C_1^*,C_2^*,C_3^*,...,C_n^*\)是非0解，说明\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)线性相关，与 \(x_i(t)\)之间线性无关相矛盾，得证。

线性齐次方程通解结构

根据定理3我们知道，高阶线性微分方程

\({d^nx\over dt}+a_1(t){d^{n-1}x\over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}(t){dx\over dt}+a_n(t)x=0\)

的n个解为\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)

当\(t=t_0\)时，我们构造

\(x_1(t) \) \(x_1(t_0)=1\) \(x_1'(t_0)=0\) \(x_1''(t_0)=0\) ... \(x_1^{(n-1)}(t_0)=0\)
\(x_2(t) \) \(x_2(t_0)=0\) \(x_2'(t_0)=1\) \(x_2''(t_0)=0\) ... \(x_2^{(n-1)}(t_0)=0\)
\(x_3(t) \) \(x_3(t_0)=0\) \(x_3'(t_0)=0\) \(x_3''(t_0)=1\) ... \(x_3^{(n-1)}(t_0)=0\)
...
\(x_n(t) \) \(x_n(t_0)=0\) \(x_n'(t_0)=0\) \(x_n''(t_0)=0\) ... \(x_n^{(n-1)}(t_0)=1\)

这些都是满足了后面初始条件的x(t)，由其朗斯基行列式

\(W(t_0)=\)\(=1≠0\)

可知，只要有任意一点\(W(t_0)≠0\)，由定理3的逆否命题，这一组函数\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)是线性无关的

定理4：高阶线性微分方程

\({d^nx\over dt}+a_1(t){d^{n-1}x\over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}(t){dx\over dt}+a_n(t)x=0\)

一定存在n个线性无关的解。

定理5：(通解结构)若\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)是

\({d^nx\over dt}+a_1(t){d^{n-1}x\over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}(t){dx\over dt}+a_n(t)x=0\)

n个线性无关的解，则这n个线性无关的解的线性组合

\(x(t)=C_1x_1(t)+C_2x_2(t)+C_3x_3(t)+...+C_nx_n(t)\)

为方程通解。

证：由解的叠加原理，x(t)是方程的解，

由其未知数\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)的系数所构成的朗斯基行列式以及\(x_1(t),x_2(t),x_3(t),...,x_n(t)\)线性无关，则有

W(t)=\(≠0\)

又有

\({∂(x,x',x'',...,x^{(n-1)})\over ∂(C_1,C_2,C_3,...,C_n)}=W(t)≠0\)，由定理2的逆命题

说明\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\)线性无关，得证。

这里的\({∂(x,x',x'',...,x^{(n-1)})\over ∂(C_1,C_2,C_3,...,C_n)}\)表示x(包括\(x_1,x_2,x_3,...,x_n\))函数对C(包括\(C_1,C_2,C_3,...,C_n\))各阶偏导数所组成的行列式。

这说明\({d^nx\over dt}+a_1(t){d^{n-1}x\over dt^{n-1}}+...+a_{n-1}(t){dx\over dt}+a_n(t)x=0\)的解空间构成一个n维线性空间，其n个线性无关的解可以作为解空间的一组基。如果这组解满足

，

那么这组解叫做原方程的基本解组。

但是我们构造原方程的解并不只有这一种方式，只要这组行列式的值为1，即可满足线性无关，例如

\(=1≠0\)

这是一个下三角行列式，该初始条件已经发生了改变，那么解x(t)也就发生了改变，但同时x(t)依然是线性无关的，即基本解组是不唯一的。但满足

的基本解组称为标准基本解组。

示例1：x''-x=0的解分别是\(e^t\)和\(e^{-t}\)，通解为\(x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}\)，求x(0)=1,x'(0)=0以及x(0)=0,x'(0)=1时的方程的解。

由\(x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}\)，得

\(x'(t)=C_1e^t-C_2e^{-t}\)

当t=0时，由x(0)=1,x'(0)=0有

\(C_1+C_2=1\)
\(C_1-C_2=0\)

得\(C_1={1\over 2}\),\(C_2={1\over 2}\)

此时记为\(x_1(t)\)，则

\(x_1(t)={1\over 2}e^t+{1\over 2}e^{-t}={1\over 2}(e^t+e^{-t})\)

当t=0时，由x(0)=0,x'(0)=1有

\(C_1+C_2=0\)
\(C_1-C_2=1\)

得\(C_1={1\over 2}\),\(C_2=-{1\over 2}\)

此时记为\(x_2(t)\)，则

\(x_2(t)={1\over 2}e^t-{1\over 2}e^{-t}={1\over 2}(e^t-e^{-t})\)

由

\(x_1(t)={1\over 2}(e^t+e^{-t})\)
\(x_2(t)={1\over 2}(e^t-e^{-t})\)

得

W(t)=\(=1≠0\)

可知\(x_1(t)\)和\(x_2(t)\)是线性无关的，所以以这两个解作为标准基本解组得到方程的通解为

\(x(t)=C_1{1\over 2}(e^t+e^{-t})+C_2{1\over 2}(e^t-e^{-t})={1\over 2}[(C_1+C_2)e^t+(C_1-C_2)e^{-t}]\)

令\(C_1^*={1\over 2}(C_1+C_2)\)，\(C_2^*={1\over 2}(C_1-C_2)\)，则

\(x(t)=C_1^*e^t+C_2^*e^{-t}\)

上式虽然在形式上与\(x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}\)非常类似，但它们不是同一组基本解组。从这里我们可以看出标准基本解组不一定是最简洁的一组解。

可降阶的二阶微分方程

可降阶的二阶微分方程只有几种特殊的类型

\({d^2y\over dx^2}=f(x)\)型

解该类型的二阶微分方程只需要两次积分即可

\({dy\over dx}=\int{f(x)dx}+C_1\)

\(y=\int{(\int{f(x)dx})dx}+C_1x+C_2\)

这就是该类型方程的通解。

示例1：\({d^2y\over dx^2}={1\over cos^2x}\)，当\(x_0={π\over 4}\)时，\(y_0={ln2\over 2}\)，\(y_0'=1\)

\({dy\over dx}=tanx+C_1\) (此处可以参考高等数学整理中的正切函数求导)

因为当\(x_0={π\over 4}\)时，\(y_0'=1\)，故

\(1=tan{π\over 4}+C_1\)

\(1=1+C_1\)

\(C_1=0\)

故

\({dy\over dx}=tanx\)

\(y=-ln|cosx|+C_2\) (此处可以参考微分方程整理中的正切的积分公式的推导)

因为当\(x_0={π\over 4}\)时，\(y_0={ln2\over 2}\)，故

\({ln2\over 2}=-ln|cos{π\over 4}|+C_2\)

\({ln2\over 2}=-ln|{1\over \sqrt2}|+C_2\)

\({ln2\over 2}=ln\sqrt2+C_2\)

\(C_2=0\)

故

\(y=-ln|cosx|\)

为原方程的特解

\({d^2y\over dx^2}=f(x,{dy\over dx})\)型

该类型的方程不明显含有y，简称不显含y，通过变量替换法来进行降阶

令\({dy\over dx}=p\)，则\({d^2y\over dx^2}={dp\over dx}\)，原方程化为

\({dp\over dx}=f(x,p)\)

设该新方程的解为

\(p=φ(x,C_1)\)

则

\({dy\over dx}=φ(x,C_1)\)

原方程通解为

\(y=\int{φ(x,C_1)dx}+C_2\)

示例2：\((1+x^2){d^2y\over dx^2}=2x{dy\over dx}\)

令\({dy\over dx}=p\)，则\({d^2y\over dx^2}={dp\over dx}\)，原方程化为

\((1+x^2){dp\over dx}=2xp\)

分离变量，得

\({dp\over p}={2x\over 1+x^2}dx\)

两端积分

\(\int{dp\over p}=\int{2x\over 1+x^2}dx\)

\(ln|p|=\int{{1\over 1+x^2}d(1+x^2)}\)

\(ln|p|=ln|1+x^2|+ln|C_1|\)

\(ln|p|=ln(|1+x^2|⋅|C_1|)\)

\(p=C_1(1+x^2)\)

即

\({dy\over dx}=C_1(1+x^2)\)

\(y=\int{C_1(1+x^2)dx}+C_2\)

\(y=C_1(x+{x^3\over 3})+C_2\)

为原方程的通解

\({d^2y\over dx^2}=f(y,{dy\over dx})\)型

该类型的方程不明显含有x，简称不显含x，同样通过变量替换法来进行降阶

令\({dy\over dx}=p\)，则\({d^2y\over dx^2}={dp\over dx}={dp\over dy}⋅{dy\over dx}=p{dp\over dy}\)，原方程化为

\(p{dp\over dy}=f(y,p)\)

设该新方程的解为

\(p=φ(y,C_1)\)

则

\({dy\over dx}=φ(y,C_1)\)

分离变量

\({dy\over φ(y,C_1)}=dx\)

两端积分

\(\int{dy\over φ(y,C_1)}=\int{dx}\)

示例3：\(({dy\over dx})^2-y{d^2y\over dx^2}=0\)

令\({dy\over dx}=p\)，则\({d^2y\over dx^2}={dp\over dx}={dp\over dy}⋅{dy\over dx}=p{dp\over dy}\)，原方程化为

\(p^2-yp{dp\over dy}=0\)

\((p-y{dp\over dy})p=0\)

于是有

\(p-y{dp\over dy}=0\)
p=0

由1式

\(p=y{dp\over dy}\)

分离变量

\({dy\over y}={dp\over p}\)

两端积分

\(\int{dy\over y}=\int{dp\over p}\)

\(ln|p|=ln|y|+ln|C_1|\)

\(p=C_1y\)，p=0也是解

即\(C_1=0\)的情形，\(C_1\)可以为任意常数，此时

\(p=C_1y\)为\((p-y{dp\over dy})p=0\)的通解

即

\({dy\over dx}=C_1y\)

分离变量

\({dy\over y}=C_1dx\)

两端积分

\(\int{dy\over y}=\int{C_1dx}\)

\(ln|y|=C_1x+ln|C_2|\)

\(ln|y|=lne^{C_1x}+ln|C_2|\)

\(y=C_2e^{C_1x}\)

y=0也是解，为上式\(C_2=0\)的情形

故

\(y=C_2e^{C_1x}\)为原方程的通解，\(C_1,C_2\)为任意常数

微分方程整理(二)

线性微分方程的一般理论

可降阶的二阶微分方程

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