常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

上一节讲了常微分方程的三种离散化方法:差商近似导数、数值积分、Taylor 多项式近似。

2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式 2.2 Euler 方法的误差估计

§2 欧拉（Euler）方法

2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式

Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解，即由公式（3）依次算出 $\large y\left ( x_{n} \right )$ 的近似值 $\large y_{}n \:\: ,\left ( n=1,2,....\right )$ 。这组公式求问题（1）的数值解称为向前 Euler 公式。

2.2 Euler 方法的误差估计

对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的 $\large y_{n}$ 都是近似的，所以用它计算的 $\large y_{n+1}$ 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的所谓局部截断误差。

扫描二维码关注公众号，回复： 6072201 查看本文章

显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此它的精度不高。

§3 改进的 Euler 方法

3.1 梯形公式

利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分，即

这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为

如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导出一种新的方法—改进 Euler 法。

3.2 改进 Euler 法

按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求 $\large y_{n+1}$ 的一个初步近似值 $\large \bar{y}_{n+1}$ ，称为预测值，然后用梯形公式校正求得近似值 $\large y_{n+1}$ ，即