复数和四元数

引言

在数学和工程学中，复数和四元数是两种重要的数系，它们扩展了实数的概念，能够表示更复杂的数量和关系。复数在二维空间中描述旋转和振荡，而四元数则在三维空间中提供了一种高效且稳定的旋转表示方法。本文将首先介绍复数，随后深入探讨四元数的定义、意义及其运算规则。

---

一、复数（Complex Numbers）

1. 什么是复数

复数是实数的扩展，由两部分组成：实部和虚部。一个复数通常表示为：

$$z=a+bi$$

其中：

• $a$ 是复数的实部（real part）。
• $b$ 是复数的虚部（imaginary part）。
• $i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$。

2. 复数的表示方式

复数可以通过多种方式表示：

1. 代数形式：

$$z=a+bi$$
2. 几何形式（复平面）：
- 复平面（或称阿根廷平面）将复数表示为二维平面上的点或向量。
- 实部 $a$ 对应于水平轴（实轴）。
- 虚部 $b$ 对应于垂直轴（虚轴）。
- 复数 $z=a+bi$ 在复平面上的位置为点 $(a,b)$。
3. 极坐标形式：

$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$

或者使用欧拉公式：

$$z=r{e}^{i\theta }$$

其中：
- $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 是复数的模（magnitude）。
- $\theta =\arg (z)={\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$ 是复数的幅角（argument），表示复数与实轴的夹角。

3. 复数的运算

复数之间可以进行多种运算，包括加法、减法、乘法、除法以及取模和共轭。

扫描二维码关注公众号，回复： 17460041 查看本文章

3.1 加法与减法

• 加法：

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$

• 减法：

$$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$

3.2 乘法

复数的乘法基于分配律和 $i^2=-1$ 的性质：

$$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

3.3 除法

复数的除法涉及到乘以共轭复数以消除分母中的虚部：

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$$

3.4 模与共轭

• 模（Magnitude）：

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

• 共轭（Conjugate）：

$$\overline{z}=a-bi$$

4. 复数的几何意义

复数在复平面中的表示赋予了它们丰富的几何意义：

• 加法对应于向量加法。
• 乘法涉及模的相乘和幅角的相加。
• 复数的乘法与旋转：
  • 乘以 $e^{i\theta }$ 相当于在复平面上将复数旋转 $\theta$ 角度。

5. 复数的应用

复数在多个领域有广泛的应用，包括：

• 工程学：交流电路分析、电磁场理论。
• 物理学：量子力学、波动理论。
• 数学：复分析、傅里叶变换。
• 计算机科学：信号处理、图形学。

---

二、四元数（Quaternions）

1. 什么是四元数

四元数是由威廉·哈密尔顿（William Rowan Hamilton）在19世纪中叶引入的一种数系，用于扩展复数的概念。四元数由一个实数部分和三个虚数部分组成，通常表示为：

$$q=a+bi+cj+dk$$

其中：

• $a$ 是实部。
• $b,c,d$ 是三个虚部，分别与虚数单位 $i,j,k$ 关联。
• $i,j,k$ 满足特定的乘法规则。

2. 四元数的定义与乘法规则

四元数的乘法不满足交换律，即 $pq\ne qp$（非交换代数）。其乘法规则基于以下关系：

$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$

由此可以推导出：

$$ij=k,ji=-k$$

$$jk=i,kj=-i$$

$$ki=j,ik=-j$$

这些乘法规则定义了四元数的乘法表。

3. 四元数的运算

四元数之间可以进行加法、减法、乘法、取模、取共轭等运算。

3.1 加法与减法

• 加法：

$$(a+bi+cj+dk)+(e+fi+gj+hk)=(a+e)+(b+f)i+(c+g)j+(d+h)k$$

• 减法：

$$(a+bi+cj+dk)-(e+fi+gj+hk)=(a-e)+(b-f)i+(c-g)j+(d-h)k$$

3.2 乘法

四元数的乘法基于分配律和乘法规则：

$$(a+bi+cj+dk)(e+fi+gj+hk)=(ae-bf-cg-dh)+(af+be+ch-dg)i+(ag-bh+ce+df)j+(ah+bg-cf+de)k$$

3.3 模与共轭

• 模（Magnitude）：

$$|q|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$$

• 共轭（Conjugate）：

$$\overline{q}=a-bi-cj-dk$$

• 逆（Inverse）：

$$q^{-1}=\frac{\overline{q}}{|q{|}^2}$$

3.4 标准四元数

• 单位四元数（Unit Quaternion）：模为1的四元数，用于表示旋转。

$$q=a+bi+cj+dk,|q|=1$$

4. 四元数的几何意义

四元数在三维空间中有着重要的几何意义，特别是在描述旋转时的应用：

• 旋转表示：
  • 单位四元数可用来表示三维空间中的旋转，避免了欧拉角的万向锁问题和旋转矩阵的冗余。
  • 给定一个单位四元数 $q=\cos (\theta /2)+\sin (\theta /2)(xi+yj+zk)$，其中 $\theta$ 是旋转角度，$\vec{v}=(x,y,z)$ 是旋转轴（单位向量）。
• 旋转公式：

$${\vec{v}}^{\prime }=q\vec{v}{q}^{-1}$$

其中 $\vec{v}$ 作为纯虚四元数 $0+xi+yj+zk$ 进行运算。

5. 四元数的应用

四元数在多个领域有广泛的应用，包括：

• 计算机图形学：3D模型的旋转、动画、虚拟现实。
• 机器人学：机器人运动控制、导航。
• 航空航天：卫星姿态控制、飞行器导航。
• 游戏开发：角色和摄像机的平滑旋转。
• 物理学：描述空间中的旋转和角动量。

6. 四元数与旋转矩阵、欧拉角的比较

在三维空间中，旋转可以通过旋转矩阵、欧拉角或四元数来表示。四元数相较于其他方法具有以下优点：

• 避免万向锁：欧拉角在特定条件下会出现万向锁现象，四元数不会。
• 效率高：四元数的插值（如球面线性插值，SLERP）比旋转矩阵更高效，适合动画和平滑过渡。
• 内存占用少：四元数只需4个数（一个实部和三个虚部），而旋转矩阵需要9个数。
• 稳定性好：四元数在连续旋转中更稳定，减少累积误差。

---

三、四元数的运算规则与性质

1. 四元数的加法与减法

四元数的加法和减法与复数类似，按对应部分进行操作：

• 加法：

$$q_1+q_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k$$

• 减法：

$$q_1-q_2=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i+(c_1-c_2)j+(d_1-d_2)k$$

2. 四元数的乘法

四元数乘法基于虚数单位的乘法规则，满足分配律但不满足交换律：

$$q_1{q}_2=(a_1{a}_2-b_1{b}_2-c_1{c}_2-d_1{d}_2)+(a_1{b}_2+b_1{a}_2+c_1{d}_2-d_1{c}_2)i+(a_1{c}_2-b_1{d}_2+c_1{a}_2+d_1{b}_2)j+(a_1{d}_2+b_1{c}_2-c_1{b}_2+d_1{a}_2)k$$

3. 四元数的共轭与逆

• 共轭：

$$\overline{q}=a-bi-cj-dk$$

• 逆：

$$q^{-1}=\frac{\overline{q}}{|q{|}^2}=\frac{a-bi-cj-dk}{a^2+b^2+c^2+d^2}$$

4. 四元数的模

四元数的模与其实数和虚数部分相关：

$$|q|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$$

单位四元数满足 $|q|=1$。

5. 四元数的旋转运算

四元数用于表示旋转时，通常使用单位四元数。给定一个旋转四元数 $q$ 和一个纯虚四元数 $v$（表示向量），旋转后的向量 $v^{\prime }$ 由以下公式计算：

$$v^{\prime }=qv{q}^{-1}$$

其中：

• $q=\cos (\theta /2)+\sin (\theta /2)(xi+yj+zk)$
• $v=0+xi+yj+zk$

6. 四元数的性质

• 非交换性：$q_1{q}_2\ne q_2{q}_1$ 一般情况下。
• 结合律：$q_1(q_2{q}_3)=(q_1{q}_2)q_3$。
• 分配律：$q_1(q_2+q_3)=q_1{q}_2+q_1{q}_3$。
• 与标量的乘法：四元数可以与实数（标量）进行乘法，作用在所有部分上。

---

四、四元数的实际应用

1. 计算机图形学与动画

在计算机图形学中，四元数被广泛用于表示和插值三维旋转。使用四元数进行旋转操作相比于欧拉角和旋转矩阵，具有更高的效率和更好的数值稳定性，尤其在连续旋转和动画过渡中。

2. 机器人学与航空航天

机器人和航空航天领域中，四元数用于姿态控制和导航。它们能够有效地表示和计算飞行器或机器人在空间中的方向，避免了万向锁问题，确保运动控制的平滑性和准确性。

3. 虚拟现实与增强现实

在虚拟现实（VR）和增强现实（AR）系统中，四元数用于跟踪和表示用户的头部和设备的方向。它们确保了用户视角的自然和连续变化，提升了沉浸体验。

4. 物理模拟

四元数在物理模拟中用于描述刚体的旋转状态，确保了模拟过程中的物理一致性和计算效率。

---

五、总结

复数和四元数都是实数体系的重要扩展，能够描述更高维度的数量和关系。复数主要用于二维空间中的旋转和振荡现象，而四元数则在三维空间中提供了一种高效且稳定的旋转表示方法。四元数的运算规则虽然比复数复杂，但其在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域的广泛应用证明了其强大的实用价值。

通过理解复数的基础，进一步掌握四元数的定义、运算规则及其几何意义，可以为解决复杂的空间旋转和方向控制问题提供有力的工具和方法。

如果您有更多关于复数或四元数的具体问题，欢迎进一步探讨！