腿足机器人之八- 腿足机器人动力学

腿足机器人的运动学解决“如何到达目标位置”的问题，动力学解决“如何高效稳定地到达”的问题。两者结合，使机器人能够在复杂环境中实现类生物的灵活运动，是仿生机器人领域的核心技术。
如波士顿动力Atlas通过逆运动学规划跳跃动作，结合动力学模型计算关节力矩以实现空翻， MIT Cheetah利用简化动力学模型（弹簧负载倒立摆）实现高速奔跑，同时优化能量效率。

动力学研究力、质量和运动的关系，解决以下问题：

• 力矩计算：各关节需要施加多大的力或力矩才能实现目标运动？
• 动态平衡：如何应对外部扰动（如推力、不平地面）以保持稳定？
• 能量优化：如何分配关节力矩以降低能耗？
• 接触力控制：如何处理足部与地面的冲击和滑动？

刚体动力学

腿足机器人刚体动力学建模主要包括牛顿-欧拉、朗格朗日以及动量定理。

• 牛顿-欧拉方程：基于力和力矩平衡，递归计算各连杆的力和加速度，适用于实时控制，但需要处理数值积分误差，单刚体动力学方程：
  $$\{\begin{array}{rlr}m\ddot{p}& =& \Sigma F\\ I\dot{\omega }+\omega \times I\omega & =& \Sigma \tau \end{array}$$

$\ddot{p}$是质心加速度矢量，m是刚体总质量，$\Sigma F$是作用在刚体上的所有外力的矢量和，以水平方向为例，$m{\ddot{x}}_{CoM}=\Sigma F_x$，表示水平方向的河里（如地面摩擦力）等于质量乘以质心水平加速度，实际可能是在其他方向上也存在合力。

$\Sigma \tau$是作用在刚体上的所有外力矩的矢量和，$I$是刚体在质心处的惯性张量，$\omega$是角速度矢量，$\dot{\omega }$是角加速度矢量。右边的第一项$I\dot{\omega }$是惯性力矩，第二项$\omega \times I\omega$是离心力矩或欧拉项。

对于双足机器人走路（准静态步态）：
* 单腿支撑阶段：支撑腿的关节扭矩需平衡躯干重力和惯性力，摆动腿的关节扭矩需要控制足端轨迹。
* 动力学方程：
$$\{\begin{array}{rlr}\Sigma F& =& m{\ddot{x}}_{CoM}\\ \Sigma \tau & =& I\dot{\omega }+\omega \times I\omega \end{array}$$
其中${\ddot{x}}_{CoM}$为质心加速度， I I