编辑距离，又被称为Levenshtein距离，是指两个字符串之间，由其中一个转变成另一个所需的最小编辑操作次数。
比如："sea" 转变为 "eat" 需要2次操作：
1、将 s 删除
2、在末尾添加 t
所以"sea"和"eat"两个字串的编辑距离为2。
这里需要注意的是：所谓的操作只包含 (1) 插入 (2) 删除 (3) 替换 ，并不包括字符的交换操作！
编辑距离的应用：
编辑距离可以表示两个字串的相似程度，编辑距离越小，两个字串相似度就越高。
1、DNA序列分析
2、拼写纠错
3、机器翻译
机器翻译通常使用的是Seq2seq模型。编辑距离可以作为Seq2seq的损失函数，即度量标记值和输出值之间的相似程度。
4、网址归类
性质相近的网站，它们的url地址通常也相似，比如csdn不同用户的网址。根据编辑距离可以有效地对网址进行大规模处理。
......
Levenshtein算法：
Levenshtein算法的本质其实是动态规划。以 "holiday" 和 "today" 为例，它的具体步骤是：
1、建立一个二维数组，大小为 (word1.length+1)*(word2.length+1)
| t | o | d | a | y | ||
| h | ||||||
| o | ||||||
| l | ||||||
| i | ||||||
| d | ||||||
| a | ||||||
| y |
2、将数组的第一行和第一列设定为0—n：
| t | o | d | a | y | ||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| h | 1 | |||||
| o | 2 | |||||
| l | 3 | |||||
| i | 4 | |||||
| d | 5 | |||||
| a | 6 | |||||
| y | 7 |
这一步的本质其实是计算空字符转化为对应字符需要的操作次数。比如：matrix[0][0]=0代表空字符转空字符需要0次操作；matrix[1][0]=1代表空字符转"h"需要1次操作；matrix[2][0]=2代表空字符转"ho"需要两次操作……以此类推。
3、假设当前遍历到i、j，判断当前行对应的字母是否等于当前列对应的字母。如果相等，记操作代价cost=0；如果不等，记操作代价cost=1。然后matrix[i][j] = min( matrix[i-1][j]+1, matrix[i][j-1]+1, matrix[i-1][j-1]+cost )。
按照上述原则，最后得到完整的matrix为：
| t | o | d | a | y | ||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| h | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| o | 2 | 2 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| l | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 4 |
| i | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 4 |
| d | 5 | 5 | 4 | 3 | 4 | 4 |
| a | 6 | 6 | 5 | 4 | 3 | 4 |
| y | 7 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
matrix中的最后一个元素即为编辑距离！所以Edit_Distance( holiday, today ) = 3。
那么上述步骤到底在做些什么呢？我们来看一下结果：
| t | o | d | a | y | ||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| h | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| o | 2 | 2 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| l | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 4 |
| i | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 4 |
| d | 5 | 5 | 4 | 3 | 4 | 4 |
| a | 6 | 6 | 5 | 4 | 3 | 4 |
| y | 7 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
首先，假设蓝色部分是matrix[i][j]，绿色部分matrix[i-1][j-1]代表由h转为t所需的操作，如果i行和j列对应的字母相等，那就说明新加一个字母不会引起操作次数的增加，所以cost=0，即matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1]。"h" -> "t"需要1次操作，同时加上一个"o"，"ho" -> "to"同样只需要1次操作。
再看一下黄色的部分，假设黄色部分是matrix[i][j]，显然matrix[i][j] = matrix[i][j-1]+1。matrix[i-1][j]+1 和 matirx[i][j-1]+1 的作用主要体现在当字符串长度不一样的时候，在图中，就是表示说会选择从"to"转变为"holid"，而不是选择从"t"转变为"holid"。+1代表的意思就是在原来的基础上进行一次插入操作。
总体来看，其实就是一个动态规划的过程：matrix[i-1][j-1]、matrix[i-1][j] 和 matrix[i][j-1] 是到达 matrix[i][j] 的三条路径，而我们就是根据前一次状态，去选择能使当前状态最优的一条路径。
具体代码(Java)：
public class Solution {
//求nums数组中的最小值
public static int Min(int[] nums) {
int min = 100;
for(int i:nums) {
if(i < min) min = i;
}
return min;
}
public int minDistance(String word1, String word2) {
int[][] matrix = new int[word1.length()+1][word2.length()+1];
//初始化第一行和第一列
for(int i=0;i<matrix.length;i++) {
matrix[i][0] = i;
}
for(int i=0;i<matrix[0].length;i++) {
matrix[0][i] = i;
}
for(int i=0;i<word2.length();i++) {
char c2 = word2.charAt(i);
for(int j=0;j<word1.length();j++) {
char c1 = word1.charAt(j);
int cost = 0;
if(c1 != c2) cost = 1;
//状态转移方程
int[] nums = {matrix[j][i+1]+1,matrix[j+1][i]+1,matrix[j][i]+cost};
matrix[j+1][i+1] = Solution.Min(nums);
}
}
return matrix[word1.length()][word2.length()];
}
}Levenshtein在Python中的应用：
现在Levenshtein算法已经有现成的模块可以调用，所以在这里介绍一下python-Levenshtein，希望对大家在NLP领域的应用有所帮助。
首先需要安装Levenshtein相关包，安装语句如下：
pip install python-Levenshtein下面是一些Levenshtein中具体的方法和应用：
http://nbviewer.jupyter.org/github/DiggerWang/Levenshtein/blob/master/Levenshtein.ipynb