【整理自用】清奇思路（三）正解整数分解成不同加数的最大乘积

1.问题描述

设 $n$ 为一自然数， $n$ 可分解成若干个不同的自然数的和。这样的分法有很多种：比如 $n=10$ , $n$ 可按照下述方式分解：

编 号	分解方式举例
1.	10=5+4+1;
2.	10=3+2+3+2;
3.	10=7+3;
4.	10=6+4;
5.	10=7+2+1;
6.	10=6+3+1;
7.	……

在所有这些分法中，各加数乘积最大的为36, （10=3+3+2+2中加数的乘积为3*2*3*2=36）。
试编写程序，求各种分解方法中各加数乘积的最大值。

1.1 程序输入输出描述

输入要求：输入只有1行，自然数 $n$。

输出要求：输出也只有1行，所有分解方法中各加数乘积的最大值。

2 清奇思路以及其证明（需要允许加数相同）

因为网页版没找到作者的名字，所以没有贴，如果有同学知道的，我把出处贴完整。

链接：https://www.zhihu.com/question/30071017/answer/47584748
来源：知乎
著作权归作者所有。

把一个正整数N拆成若干正整数只有有限种拆法，所以存在最大乘积。
假设$N =n_1+\ldots +n_k.$并且 $n_1 \times \ldots \times n_k$是最大乘积。

结论：
1. 乘积中不存在1或者超过（包含）5的整数。
2. 选用尽量多的3，直到剩下2或者4时用2；

---

证明：
1. 显然1不会出现在其中;
2. 如果存在$n_k\geq 5$，则我们将$n_k$改为$3+n_k-3$。而$3\times(n_k-3)=3n_k-9>n_k$。所以不存在大于等于5的因子;
3. 4=2+2，乘积不变，不妨设没有因子4；
4. 如果有三个以上的2， 那么$3\times 3 > 2\times 2\times 2$，所以替换成3乘积更大

对于2.证明，可能一开始看不懂，这里详细再说一下：
因为$n_k\geq 5$，所以$2n_k\geq 10$，所以$3n_k\geq n_k+10$，所以$3n_k-9\geq n_k$。

---

自己写的简单代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
int pow(int base,int exponent)
{
    //简单实现
    int j=1;
    for (int i = 0;i<exponent;++i)
        j*=base;
    return j;
}
int main() {
    int N=0,factor2=0,factor3=0;
    int multiplication_Max=0;
    cin>>N;
    if(N <= 3)
       cout<<N;
    else 
    {
        int reminder = N % 3;
        switch(reminder)
        {
            case 0: factor3 = N/3;break;
            case 1: 
            {
                factor3 = N/3-1;
                factor2 = 2;
                break;
            }
            case 2:
            {
                factor3 = N/3;
                factor2 = 1;
                break;
            }
        }
        multiplication_Max = pow(3,factor3)*pow(2,factor2);
        cout<<multiplication_Max<<endl;
    }

    return 0;
}

如果至少要分成两个数之和，那么上述代码在开头需要微调：

if(N <= 3)                ====>                 if(N <= 3) 
   cout<<N;               ====>                   cout<<N-1;

3.常规：动态规划的思路

原博客链接：
https://blog.csdn.net/FD1247/article/details/70146062

根据题意，对于一个整数n，必然存在一个整数x，使得从n中分解出整数x可以使其最后获得最大乘积，这要求对n-x的分解也是最优解。我们用dp[i][j]表示从整数i分解出整数j的这种情况下，能达到的最大乘积。那么dp[i][j]可以递归的定义为

$$dp[i][j]=\begin{cases} 1, & i=0\\ max(dp[i−j][k]∗j), & j \leq 0 且 0\leq k<j\\ \end{cases}$$

4.不允许加数相同的情况

详细参见：https://blog.csdn.net/xiaoquantouer/article/details/70142739
看完上面的之后，再看这个大神的作品（第三题）会代码上好懂一些：https://blog.csdn.net/flushhip/article/details/79751082
（不过这个本意是用来求允许加数相同的，但是只要稍稍改一下就好）