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一、问题描述
设n是一个正整数。现在要求将n分解为若干个自然数之和，使得自然数的成绩最大。输出这个最大的乘积。
要求:
（1）要求这些自然数互不相同
（2）要求这些自然数可以是相同的
二、问题分析：
这类题一开始需要我们手写几个数来看看规律。先做第一问，要求自然数互不相同。从5开始写起，5=2+3，6=2+4，7=3+4，8=3+5，9=2+3+4，10=2+3+5，11=2+4+5
发现规律如下：
（1）尽量使得元素是连续的。
（2）如果有多出来的，从后往前均匀分配到各个元素。考虑到一种特殊情况，当多出来的数比前面已有元素的个数大1时（比如8的情况），先给已有元素的最大元素加1，然后再均匀分配到每个元素。
下面举个栗子，看看携程实习生招聘笔试的这道题：
题目描述：乘积最大
有一个整数n，将n分解成若干个不同自然数之和，问如何分解能使这些数的乘积最大，输出这个乘积m。
输入：
一个整数，不超过50
输出
一个整数
样例输入
15
样例输出
144
1 #include<iostream> 2 #include<vector> 3 using namespacestd; 4 5 int main(){ 6 int num; 7 while(cin>>num){ 8 int flag[100] = {0}; 9 int k=2; 10 int i=0; 11 while(num >= k){ 12 //从2开始分解，依次分解为2，3，4，5...连续的元素 13 flag[i++] = k; 14 num -= k; 15 k++; 16 } 17 if(num > 0){ 18 //说明有剩余的 19 if(num == flag[i-1]){ 20 //说明这时候剩余的数正好比已有的元素个数多1，所以要先给最后一个元素加1 21 flag[i-1]++; 22 num--; 23 } 24 for(int j=i-1;j>=0 &&num>0;j--){ 25 flag[j] ++; 26 num--; 27 } 28 29 } 30 int result = 1; 31 for(int j = 0;j<i;j++){ 32 result *= flag[j]; 33 } 34 cout<<result<<endl; 35 }//while 36 return 0; 37 }
对于第二问，对于元素可以是相同的
仍然是通过手写几个数查看一下规律：4=2+2，5=2+3，6=3+3，7=3+2+2，8=3+3+2，9=3+3+3。
发现规律如下：
（1）元素不会超过4，因为4=2+2，又可以转化为2的问题，而5=2+3，5<2*3，所以5总能分解成2和3。
（2）尽可能多分解出3，然后分解出2，不要分出1。
考虑任意一个数，除以3之后的结果有以下3种：
（1）能被3除断，那么就分解为3+3+...+3的情况即可。例如9=3+3+3。
（2）被3除余1，分解为3+3+...+3+2+2或者3+3+...+3+4的情况，例如10=3+3+2+2
（3）被3除余2，分解为3+3+...+3+2的情况，例如11=3+3+3+2。
1 #include<iostream> 2 #include<math.h> 3 usingnamespace std; 4 5 int main(){ 6 int num; 7 while(cin>>num){ 8 if(num % 3 == 0){ //考虑被3整除的情况 9 cout<<pow(3,num/3)<<endl; 10 continue; 11 } 12 int flag[100] = {0}; 13 int i=0; 14 while(num != 2 && num != 4){ 15 //如果不能被3整除，那么除3必余1或者2，而余1和4是同样的情况，这里取4是因为这种情况下最后是两个2， 16 //取4就可以直接把4分解为2+2 17 flag[i++]=3; 18 num-=3; 19 } 20 while(num){ //余2和1的情况，余2就是1个2，余1就是2个2，所以前面才会判断是否等于4，这样就可以化为2个2 21 flag[i++] = 2; 22 num-=2; 23 } 24 int result = 1; 25 for(int j=0;j<i;j++){ 26 result *= flag[j]; 27 } 28 cout<<result<<endl; 29 }//while 30 return 0; 31 }