自然数分解求最大乘积

题目:

把正整数n分解成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大。请你编写一个算法，由键盘输入n，求满足条件的分解方案。

输入: n (3<=n<=1000)

输出:乘积

分析：如果不探究解析方法而去盲目搜索所有分解方案的话，代价相当大。但其中是有数学规律滴…（这里让正整数是s，分解个数是n哈）
$\begin{array}{c} s=a_{1}+a_{2}+, \cdots,+a_{n} \quad\left(1 \leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}\right)\\\\ \frac{a_{1}+a_{2}}{2} \geqslant \sqrt{a_{1} a_{2}} \\\\ \left(\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right) \geqslant \sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}, \text { 即 }\left(\frac{s}{n}\right)^{n} \geqslant a_{1}a_{2}\cdots a_{n} \end{array}$

a₁>1
1<=a_i+1-a_i<=2，因为如果出现>2,可以将a_i+1、a_i改为a_i+1-1、a_i+1，使得到的乘积更大
最多只有一个i，使得a_i+1-a_i=2 ⬅为了让拆的数尽量多。。这里感觉不太严谨，跟数学建模出了个策略似的（（谁来告诉我怎么证QAQ

总结策略如下：

把数按自然数顺序拆成2, 3, 4…a_n, a_n+1， a_n+1里是拆剩下的数。当a_n+1<=a_n时不合题意，要把它拆了分给前边的数。

a_n+1=a_n时，因为a_n及之后的数每数加1还剩个1，只能把这个1分给a_n
1<a_n+1<a_n时，从a_n起向a₁走，每个数挨个加1
a_n+1=1时，只能加到a_i上

3，4这俩数比较特殊，如果必须拆的话只能拆成1+2、1+3。

太辣鸡了只会用python了

s=int(input())
if s==3 or s==4:
    result=s-1
else:
    divd=[]
    a=2
    while s>=a:
        s-=a
        divd.append(a)
        a+=1
    if s==1:
        divd[-1]+=1
    elif s==a-1:
        for i in range(a-2):#a-2:现在拆了n项(an+1不算进去)
            divd[i]+=1
        divd[-1]+=1
    else:
        i=a-3#第n项的下标
        while s>0:
            divd[i]+=1
            s-=1
            i-=1
    result=1
    for num in divd:
        result*=num

print('%d'%result)

自然数分解求最大乘积

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