牛客国庆集训派对Day5——L 数论之神（找规律/数论）

题目链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/205/L

题目大意：

终于活成了自己讨厌的样子。

这是她们都还没长大的时候发生的故事。那个时候，栗子米也不需要为了所谓的爱情苦恼。
她们可以在夏日的午后，花大把的时间去研究生活中一些琐碎而有趣的事情，比如数论。
有一天西柚柚问了栗子米一个题，她想知道 $\lfloor\frac{n}{1}\rfloor, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor, \dots, \lfloor\frac{n}{n}\rfloor$ 中有多少不同的数，这些不同的数字里面第k大的是多少。

题解：

上来思路不是很明确，于是打个表，看一下不同的数的个数

1 -------1 1个
2 1 -------2 2个
3 1 -------3 2个
4 2 1 -------4 3个
5 2 1 -------5 3个
6 3 2 1 -------6 4个
7 3 2 1 -------7 4个
8 4 2 1 -------8 4个
9 4 3 2 1 -------9 5个
10 5 3 2 1 -------10 5个
11 5 3 2 1 -------11 5个
12 6 4 3 2 1 -------12 6个
13 6 4 3 2 1 -------13 6个
14 7 4 3 2 1 -------14 6个
15 7 5 3 2 1 -------15 6个
16 8 5 4 3 2 1 -------16 7个
17 8 5 4 3 2 1 -------17 7个
18 9 6 4 3 2 1 -------18 7个
19 9 6 4 3 2 1 -------19 7个
20 10 6 5 4 3 2 1 -------20 8个
21 10 7 5 4 3 2 1 -------21 8个
22 11 7 5 4 3 2 1 -------22 8个
23 11 7 5 4 3 2 1 -------23 8个
24 12 8 6 4 3 2 1 -------24 8个
25 12 8 6 5 4 3 2 1 -------25 9个
26 13 8 6 5 4 3 2 1 -------26 9个
27 13 9 6 5 4 3 2 1 -------27 9个
28 14 9 7 5 4 3 2 1 -------28 9个
29 14 9 7 5 4 3 2 1 -------29 9个
30 15 10 7 6 5 4 3 2 1 -------30 10个
31 15 10 7 6 5 4 3 2 1 -------31 10个
32 16 10 8 6 5 4 3 2 1 -------32 10个
33 16 11 8 6 5 4 3 2 1 -------33 10个
34 17 11 8 6 5 4 3 2 1 -------34 10个
35 17 11 8 7 5 4 3 2 1 -------35 10个
36 18 12 9 7 6 5 4 3 2 1 -------36 11个
37 18 12 9 7 6 5 4 3 2 1 -------37 11个
38 19 12 9 7 6 5 4 3 2 1 -------38 11个
39 19 13 9 7 6 5 4 3 2 1 -------39 11个
40 20 13 10 8 6 5 4 3 2 1 -------40 11个
41 20 13 10 8 6 5 4 3 2 1 -------41 11个
42 21 14 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------42 12个
43 21 14 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------43 12个
44 22 14 11 8 7 6 5 4 3 2 1 -------44 12个
45 22 15 11 9 7 6 5 4 3 2 1 -------45 12个
46 23 15 11 9 7 6 5 4 3 2 1 -------46 12个
47 23 15 11 9 7 6 5 4 3 2 1 -------47 12个
48 24 16 12 9 8 6 5 4 3 2 1 -------48 12个
49 24 16 12 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------49 13个
50 25 16 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------50 13个
51 25 17 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------51 13个
52 26 17 13 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------52 13个
53 26 17 13 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------53 13个
54 27 18 13 10 9 7 6 5 4 3 2 1 -------54 13个
55 27 18 13 11 9 7 6 5 4 3 2 1 -------55 13个
56 28 18 14 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------56 14个
57 28 19 14 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------57 14个
58 29 19 14 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------58 14个
59 29 19 14 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------59 14个
60 30 20 15 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------60 14个
61 30 20 15 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------61 14个
62 31 20 15 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------62 14个
63 31 21 15 12 10 9 7 6 5 4 3 2 1 -------63 14个
64 32 21 16 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------64 15个
65 32 21 16 13 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------65 15个
66 33 22 16 13 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------66 15个
67 33 22 16 13 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------67 15个
68 34 22 17 13 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------68 15个
69 34 23 17 13 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------69 15个
70 35 23 17 14 11 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------70 15个
71 35 23 17 14 11 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------71 15个
72 36 24 18 14 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------72 16个
73 36 24 18 14 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------73 16个
74 37 24 18 14 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------74 16个
75 37 25 18 15 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------75 16个
76 38 25 19 15 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------76 16个
77 38 25 19 15 12 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------77 16个
78 39 26 19 15 13 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------78 16个
79 39 26 19 15 13 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------79 16个
80 40 26 20 16 13 11 10 8 7 6 5 4 3 2 1 -------80 16个
81 40 27 20 16 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------81 17个
82 41 27 20 16 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------82 17个
83 41 27 20 16 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------83 17个
84 42 28 21 16 14 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------84 17个
85 42 28 21 17 14 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------85 17个
86 43 28 21 17 14 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------86 17个
87 43 29 21 17 14 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------87 17个
88 44 29 22 17 14 12 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------88 17个
89 44 29 22 17 14 12 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------89 17个
90 45 30 22 18 15 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------90 18个
91 45 30 22 18 15 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------91 18个
92 46 30 23 18 15 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------92 18个
93 46 31 23 18 15 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------93 18个
94 47 31 23 18 15 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------94 18个
95 47 31 23 19 15 13 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------95 18个
96 48 32 24 19 16 13 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------96 18个
97 48 32 24 19 16 13 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------97 18个
98 49 32 24 19 16 14 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------98 18个
99 49 33 24 19 16 14 12 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------99 18个
100 50 33 25 20 16 14 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -------100 19个

发现在25,36,49,64,81这些点不同数的个数都会加1，然后对于开根号的值相等的一段数中

比如n=64~80，这一段数中 $\sqrt{n}$ 都是8，在每一段这样的数中，不同的数的个数也分两段，后一段比前一段多1，进而我发现，分界点是 $\sqrt{n}*(\sqrt{n}+1)$ .对于n=64~80，前一段不同数的个数是15= $2\sqrt{n}-1$ ，后一段是16= $2\sqrt{n}$

设这些不同的数的个数为m，以m/2为分界线(在这里比如64-80这一段是要看80的，如果看70的话可能不到m/2，从第5项就开始递减了，但这是恰好对上的)，如果k在前一半，那么第k大的数就是n/k

如果k在后一半，那就是m/2到1中倒着数的第k-m/2个，即 $\frac{m}{2}-(k-\frac{m}{2})+1$

打表的时候可能会掉入一个坑：队友用set存的，结果最后显示的都是排了序的，所以没看出规律

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 998244353
typedef long long ll;
int main()
{
//  int T;
    int T;
    scanf("%d",&T);
    ll n,k;
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        ll q=sqrt(n),m;
        if(n>=q*(q+1))
            m=2*q;
        else m=2*q-1;
        if(k<=m/2)
            printf("%lld %lld\n",m,n/k);
        else printf("%lld %lld\n",m,m-k+1);
    }
    return 0;
}

打表程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 998244353
typedef long long ll;
int main()
{
//   freopen("input.txt","r",stdin);
    for(int n=1; n<=100; ++n)
    {
        int pre=-1;
        int num=0;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
        {
            if(n/i!=pre)
                cout<<n/i<<' ',num++;
            pre=n/i;
        }
        cout<<"-------"<<n<<"    "<<num<<"个"<<endl;
    }
    return 0;
}

牛客国庆集训派对Day5——L 数论之神（找规律/数论）

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