PageRank算法原理以及Python实现

pagerank算法我相信大家都不陌生，即使你陌生，也没关系，看了这篇文章，你就不陌生了，如果你还陌生，那，，，二营长，二营长！

1. 矩阵构造

PageRank本为解决网页和网页之间的关系，计算__网页重要性__而提出的一种算法.PageRank算法计算每一个网页的PageRank值，然后根据这个值的大小对网页的重要性进行排序。
它的思想是模拟一个悠闲的上网者，上网者首先随机选择一个网页打开，然后在这个网页上呆了几分钟后，跳转到该网页所指向的链接，这样无所事事、漫无目的地在网页上跳来跳去，PageRank就是估计这个悠闲的上网者分布在各个网页上的概率。

假设 A 网页有到B网页的连接,B 网页有到C网页的连接,C网页有到A网页的连接，表示成 A --> B–> C–> A的有向边,如图：
A->B->C->A

表示成矩阵M如下：
A->B->C->A矩阵表示
假设A网页还有到C 网页的出链，那么有 1/2 的概率会到C网页，1/2 的概率到B 网页，则矩阵M变成了：
A->B->C->A，A->C矩阵
M的第一行代表 A , B，C 网页出链到 A网页的概率，第二行代表 A，B，C网页出链到 B 网页的概率，第三行代表 A，B，C网页出链到 C 网页的概率，我们从矩阵可以发现，矩阵的列的概率和为1，只要保证这点，则后期PageRank迭代的时候U_n就可以收敛。

2. 初始pr值矩阵构造

设定网页A，B，C 的初始pr值为 1/N = 1/3 ，[pr值：PageRank值]
即 U = [1/3，1/3，1/3] 的转置矩阵，分别表示 A，B，C 的初始pr值，
进行迭代计算 U₁ = M * U = [1/3，1/3，1/3] 还是A，B ，C网页的pr值都是 1/3
然后继续 U_n = M * U_n-1 ,直到收敛，可以看到，由于这个例子比较特殊，其实 U = **[1/3，1/3，1/3]**就是收敛值，因为这个例子A，B，C网页组成了一个循环有向图，所以权重都是 1/3。

以上是PageRank的基本思想，接下来我们考虑一般化，假设C网页仅仅存在到自己本身的出链, 那么M为：:
这里写图片描述
那么可以证明，矩阵U_n收敛于: [0，0，1] 也就是其他网页 A 和B 都会在迭代中pr值变成 0 ，这明显有点不合理，因为如果C网页仅存在自身的出链的时候，没有人会傻到一直点击到 C网页的循环链接。因此对上面的迭代算法进行改进，引入了阻尼系数α，通常α = 0.85 。

于是一般化公式变为：

U_n = α (M * U_n-1) + (1-α)U₀

**U₀**就是： **[1/N，1/N…1/N]**的初始pr值矩阵
将阻尼系数引入后，**U_n**收敛值于: [0.05，0.0925，0.8575]

3. 代码如下

import numpy as np

M = [[0, 0, 0],
     [1, 0, 0],
     [0, 1, 1]]
U = [1 / 3, 1 / 3, 1 / 3]

U0 = np.array(U)

print('The alpha parameter is not used in the formula...')
U_past_none_alpha = []
while True:
    U = np.dot(M, U)
    # print('Un: ', U)
    if str(U) == str(U_past_none_alpha):
        break
    U_past_none_alpha = U
print('Un converge to: ', U)

print('The alpha parameter is used in the formula, and the value of alpha is 0.85...')
U_past_has_alpha = []
while True:
    U = 0.85 * (np.dot(M, U)) + 0.15 * U0
    # print('Un: ', U)
    if str(U) == str(U_past_has_alpha):
        break
    U_past_has_alpha = U
print('Un converge to: ', U)