四平方和定理，又称为拉格朗日定理：
每个正整数都可以表示为至多4个正整数的平方和。
如果把0包括进去，就正好可以表示为4个数的平方和。
比如：
5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2
7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2
（^符号表示乘方的意思）
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。
要求你对4个数排序：
0 <= a <= b <= c <= d
并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法
程序输入为一个正整数N (N<5000000)
要求输出4个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开
问题分析:
这个题目就是说输入一个正整数N，让你找到a^2+b^2+c^2+d^2=N的一个解。有可能有很多解，题目要求是a,b,c,d作为联合主键升序排列的第一个解，就是首先a要最小，然后有多解的话b最小，然后c最小，d最小。
采用枚举的方法
思路一:枚举a,b,c,d 判断a^2 + b^2 + c^2 + d^2是否等于N
分析规模:(因为a是四个数里最小的，所以a的最小值是0，最大值是500万除以4之后开根号；b最小值也是0，最大值是当a=0的时候，因为b是bcd三个数中最小的，所以b的最大值是500万除以3之后再开根号。同理可以得到c的枚举范围和d的枚举范围)
a: 0~sqrt(5000000/4)
b: 0~sqrt(5000000/3)
c: 0~sqrt(5000000/2)
d: 0~sqrt(5000000)
a,b,c,d枚举范围在1000~2000总的枚举个数量10^12(1秒10^8)很明显超时了
思路二:枚举a,b,c判断N-a^2-b^2-c^2是不是完全平方数
分析规模:(分析可以发现abc的枚举范围仍然是1000~2000之间。但是由于少枚举了一个d，所以总的枚举量大概在10^9这个量级。判断一个整数X是不是完全平方数这个我们之前讲过，可以开根号取整得到Y，然后再看Y*Y是不是等于X即可，复杂度是O(1)。所以整个算法的复杂度是O(N^1.5)，还是会超时。)
a: 0~sqrt(5000000/4)
b: 0~sqrt(5000000/3)
c: 0~sqrt(5000000/2)
总枚举量为10^9,结果还是会超时
思路三:只枚举a,b
a: 0~sqrt(5000000/4)
b: 0~sqrt(5000000/3)
剩余的R=N-a^2-b^2
快速求出c^2+d^2=R(或者快速判断出无解,这里利用哈希表性质)
总枚举量为10^6
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
int n;
map<int,int> f;
int main(){
cin>>n;
for(int c=0;c*c<n/2;c++)
{
for(int d=c;c*c+d*d<=n;d++){
if(f.find(c*c+d*d)==f.end()){
f[c*c+d*d]=c;
}
}
}
for(int a=0; a*a*4<=n;a++)
{
for(int b=a; a*a+b*b<=n/2;b++){
if(f.find(n-a*a-b*b)!=f.end()){
int c=f[n-a*a-b*b];
int d=int(sqrt(n-a*a-b*b-c*c)+1e-3);
cout<<a<<" "<<b<<" "<<c<<" "<<d<<endl;
return 0;
}
}
}
return 0;
}