线性代数及其应用(第一章)

第1章 线性代数中的线性方程组

重要定理

定理：A为m×n矩阵 下面的都成立或者都不成立
a:对R^m中的每个b，方程Ax = b 有解。
b:R^m中的每个b都是A的列的一个线性组合。
c:A的各列生成R^m。
d:A在每一行都有一个主元位置。

1 线性方程组

1. 若两个方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解集。

2 行化简与阶梯形矩阵

先导元素 阶梯形 简化阶梯形
阶梯形矩阵的特点：

1. 每一非零行都在每一零行之上。

2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边。

3. 某一先导元素所在列的下方都是零。

4. 若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，则称它为简化阶梯形：
   1.每一非零行的先导元素是1。
   2.每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素。

5. 一个矩阵可以有很多阶梯形，但是只有一个简化阶梯形。化阶梯形为向前步骤，产生唯一简化阶梯形为向后步骤。

3 向量方程

1. 列向量 →向量

2. R^m → m个元素

4 矩阵方程

1. 方程Ax = b 有解当且仅当b是A的各列的线性组合。

2. R^m 中的每个向量都是V₁，V₂,…V_p的线性组合，即Span{v₁,v₂,…v_p} = R^m。

5 线性方程组的解集

1. Ax = b 的解集为 Ax = 0 的解加上一个特解。

6 线性无关与线性相关

1. 【仅有平凡解 → 线性无关】 【 有非平凡解 → 线性相关】

2. 向量组中的向量个数超过每个向量的元素个数 → 线性相关【列数多于行数】

3. 向量组中包含零向量 → 线性相关

7 线性变换

1. Rⁿ → R^m …Rⁿ 称为定义域，R^m 称为余定义域

2. 余定义域不一定是值域

3. 每个矩阵变换都是线性变换

4. A = [T(e₁) ，T(e₂)，…T(e_n)] 称为线性变换的 标准矩阵。

5. 存在与唯一性地问题：
   a:满射 →→ Ax = b 中不能出现[0，0，0…b] →→ A的每一行都有一个主元元素
   b:一对一 →→ Ax = 0 仅有平凡解

8 额外补充

1. 差分方程
2. 基尔霍夫电压定律