poj1061——青蛙的约会(扩展欧几里得)

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

Source

浙江

题目分析：
　　设时间为t，则两个青蛙的位置分别为(x+mt)mod L、(y+nt) mod L，相遇即是(x+mt)%L=(y+nt)%L，即(m-n)*t+k*L=y-x。
OK，现在已经符合ax+by=c的方程了，设a=m-n，b=L，c=y-x，然后套用模板求出特解t的值。

因为必须是整数解，那么如果y-x不是gcd的倍数，就无解了。

关于求最小正整数解：

1.对于形如a*x₀ + b*y₀ = n的不定方程为了求解x₀和y_0，可以通过扩展欧几里得先求出满足a*x + b*y = gcd(a, b)的x和y。

2.容易得到，若（x-y）%gcd（a,b）==0，则该不定方程有整数解，否则无符合条件的整数解。

3.得到x和y后，可以通过x₀ = x*n / gcd(a, b)这个x₀相当关键，求出x₀.

4.在实际问题当中，我们需要的往往是最小整数解，我们可以通过下面的方法求出最小整数解：

　　　　令t = b/gcd(a, b)，x是方程a*x + b*y = n的一个特解，则x_min = (x % t + t) % t

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){
x=1;y=0;
return a;
}
else {
ll r=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}
}
int main()
{
int i,j,k;
ll x,y,m,n,l,t,c;
while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF){
ll a=m-n;
ll b=y-x;
if(a<0){
a=-a;
b=-b;
}
ll d=exgcd(a,l,t,c);
if(b%d!=0){printf("Impossible\n");continue;}
t*=b/d;
ll tmp=l/d;
t=(t%tmp+tmp)%tmp;
printf("%lld\n",t);
}
return 0;
}

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