青蛙的约会poj1061【扩展欧几里德】

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
**题解：**题目意思为两只青蛙围着一地球跳，看能不能互相碰到，两只青蛙的起点不同跳的距离也不相同，两只青蛙朝同一方向跳，这个题目有点象物理的追及问题，但是又有不同，因为这个问题是只能有整数解，而且这是一个环上跳，速度不一定谁大谁小，但是我们可以列一下式子，要相遇两只青蛙肯定在同一地点，但是走过的路程却不一样，虽然路程不一样，但是他们加上起点和原点的距离，两个的差值是肯定满足x+nt-(y+mt)=pL,整理一下可以得到(m-n)t+kL = y-x;这很显然是一个扩展欧几里得求通解的式子，所以无解的情况就是(y-x)%gcd(m-n,L) != 0;不然一定有解，我们可以先用欧几里得定理计算出一组特解，然后再计算通解，最后算出最小整数解。

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得算法
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;  //到达递归边界开始向上一层返回
    }
    ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll temp=y;    //把x y变成上一层的
    y=x-(a/b)*y;
    x=temp;
    return r;     //得到a b的最大公因数
}
int main()
{
    ll  x,y,m,n,L;
    cin>>x>>y>>m>>n>>L;
    ll a=m-n;
    ll c=y-x;
    if(a<0){
        a=-a;
        c=-c;
    }
    ll gcd=exgcd(a,L,x,y);
    if(c%gcd!=0){
        printf("Impossible\n");
    }
    else{
        x=x*c/gcd;
        int t=L/gcd;
        if(x<0) x=x%t+t;
        else x=x%t;
       cout<<x<<endl; 
    }
 //  system("pause");
}