动态规划-最大连续子序列和
-
问题描述
给定一个数字序列A1,A2,…,An,求i,j(1<=i<=j<=n),使得Ai+…Aj最大,输出这个最大和。
-
样例
-2 11 -4 13 -5 -2 显然 11 + (-4) + 13 = 20 为和最大的选取情况,因此最大和为20
下面介绍动态规划的做法,复杂度为O(n),读者会发现其实左端点的枚举是没有必要的。
-
步骤一:令状态dp[i]表示以A[i]作为末尾的连续序列的最大和(这里是说A[i]必须作为连续序列的末尾)。以样例为例:序列-2 11 -4 13 -5 -2,下标分别记为 0,1,2,3,4,5,那么
dp[0] = -2, dp[1] = 11, dp[2] = 7 (11 + (-4)), dp[3] = 20 (11 + (-4) + 13) dp[4] = 15 dp[5] = 13 (11 + (-4) + 13 + (-5) + (-2))
通过设置这么一个dp数组,要求的最大和其实就是dp[0],dp[1],…,dp[n-1]中的最大值(因为到底以哪个元素结尾未知),下面想办法求解dp数组。
-
步骤二:作如下考虑:因为dp[i]要求是必须以A[i]结尾的连续序列,那么只有两种情况:
-
这个最大和的连续序列只有一个元素,即以A[i]开始,以A[i]结尾。
-
这个最大和的连续序列有多个元素,即从前面某处A[p]开始(p < i),一直到A[i]结尾。对第一种情况,最大和就是A[i]本身。
对第二种情况,最大和就是dp[i-1]+A[i]
由于只有这两种情况,于是得到状态转移方程:
dp[i] = max{A[i],dp[i-1]+A[i]}
-
-
代码如下
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; const int maxn = 10010; int A[maxn],dp[maxn]; // A[i]存放序列,dp[i]存放以A[i]结尾的连续序列的最大和 int main(){ int n; scanf("%d",&n); for(int i = 0 ; i < n ; i++){ scanf("%d",&A[i]); } // 边界 dp[0] = A[0]; for(int i = 1 ; i < n ; i++){ // 状态转移方程 dp[i] = max(A[i],dp[i-1]+A[i]); } int k = 0; for(int i = 1 ; i < n ; i++){ if(dp[i] > dp[k]){ k = i; } } printf("%d\n",dp[k]); return 0; }
-
状态的无后效性
状态的无后效性是指:当前状态记录了历史信息,一旦当前状态确定,就不会再改变,且未来的决策只能在已有的一个或若干个状态的基础上进行,历史信息只能通过已有的状态去影响未来的决策。
对动态规划可解的问题来说,总会有很多设计状态的方式,但并不是所有状态都具有无后效性,因此必须设计一个拥有无后效性的状态以及相应的状态转移方程,否则动态规划就没有办法得到正确结果。事实上,如何设计状态和状态转移方程,才是动态规划的核心,而它们也是动态规划最难的地方。