二叉查找树——清华大学计算机系郭家宝

二叉查找树的定义、遍历与查找

定义

二叉查找树( $Binary$ $Search$ $Tree$ )或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
它的左、右子树也分别为二叉查找树。

上述性质被称为 $BST$ 性质
可以看出，二叉查找树是递归定义的
如图 $1$ 是一个二叉查找树。
在这里插入图片描述
下述代码给出了一个 $BST$ 节点的定义。

struct BST_Node {
    BST_Node *left, *right;//节点的左右子树的指针
    int value; //节点的值
};

遍历

对于一个已知的二叉查找树，从小到大输出其节点的值，只需对其进行二叉树的中序遍历，即递归地先输出其左子树，再输出其本身，然后输出其右子树
遍历的时间复杂度为 $Θ(N)$
下述代码为把一个以 $root$ 为根的 $BST$ 所有节点的值从小到大输出到标准输出流。

BST_Node *root;
void BST_Print(BST_Node *P) {
    if (P) {
        BST_Print(P->left);
        printf(“%d\n”, P->value);
        BST_Print(P->right);
    }
}
int main() {
    BST_Print(root);
    return 0;
}

查找

对于一个已知的二叉查找树，在其中查找特定的值，方法如下。

从根节点开始查找；
如果当前节点的值就是要查找的值，查找成功；
如果要查找的值小于当前节点的值，在当前节点的左子树中查找该值；
如果要查找的值大于当前节点的值，在当前节点的右子树中查找该值；
如果当前节点为空节点，查找失败，二叉查找树中没有要查找的值。

查找的期望时间复杂度为 $Θ(logN)$
下述代码为在一个已知的二叉查找树中查找值 $5$ 。

BST_Node *root;
BST_Node *BST_Find(BST_Node *P, int value) {
    if (!P) return 0; //查找失败
    if (P->value == value) return P; //查找成功
    else if (value < P->value) return BST_Find(P->left, value); //在左子树中查找
    else return BST_Find(P->right, value); //在右子树中查找
}
int main() {
    BST_Node *result;
    result = BST_Find(root, 5);//在BST中查找值为5的节点
    if (result) printf("Found!");
    else printf("Not Found!");
    return 0;
}

二叉查找树的插入与删除

插入

在二叉查找树中插入元素，要建立在查找的基础上
基本方法是类似于线性表中的二分查找，不断地在树中缩小范围定位，最终找到一个合适的位置插入
具体方法如下所述。

从根节点开始插入；
如果要插入的值小于等于当前节点的值，在当前节点的左子树中插入；
如果要插入的值大于当前节点的值，在当前节点的右子树中插入；
如果当前节点为空节点，在此建立新的节点，该节点的值为要插入的值，左右子树为空，插入成功。

对于相同的元素，一种方法我们规定把它插入左边，另一种方法是我们在节点上再加一个域，记录重复节点的个数
上述方法为前者
插入的期望时间复杂度为 $Θ(logN)$ 。
下述代码为在一个二叉查找树中插入值 $5$ 。

BST_Node *root;
BST_Node *BST_Insert(BST_Node *&P,int value) {//节点指针要传递引用
    if (!P) {
        P = new BST_Node; //插入成功
        P->value = value;
    }
    else if (value <= value) return BST_Insert(P->left, value); //在左子树中插入
    else return BST_Insert(P->right, value); //在右子树中插入
}
int main() {
    BST_Insert(root, 5);//在 BST 中插入值 5
    return 0;
}

删除

二叉查找树的删除稍有些复杂，要分三种情况分别讨论
基本方法是要先在二叉查找树中找到要删除的节点的位置，然后根据节点分以下情况：

情况一，该节点是叶节点(没有非空子节点的节点)，直接把节点删除即可。
情况二，该节点是链节点(只有一个非空子节点的节点)，为了删除这个节点而不影响它的子树，需要把它的子节点代替它的位置，然后把它删除。如图 $2$ 所示，删除节点 $2$ 时，需要把它的左子节点代替它的位置。
情况三，该节点有两个非空子节点。由于情况比较复杂，一般的策略是用它右子树的最小值来代替它，然后把它删除。如图 $3$ 所示，删除节点 $2$ 时，在它的右子树中找到最小的节点 $3$ ，该节点一定为待删除节点的后继。删除节点 $3$ (它可能是叶节点或者链节点)，然后把节点 $2$ 的值改为 $3$ 。

实际上在实现的时候，情况一和情况二是可以一样对待的，因为用叶节点的子节点代替它本身，就是用空节点代替了它，等同于删除
对待情况三除了可以用后继代替本身以外，我们还可以使用它的前驱(左子树的最大值)代替它本身
这就牵涉到了查找最小值的问题，基本方法就是从子树的根节点开始，如果左子节点不为空，那么就访问左子节点，直到左子节点为空，当前节点就是该子树的最小值节点，删除它只需用它的右子节点代替它本身。
下述代码是在一个给定的二叉查找树中删除值 $2$ 。

BST_Node *root;
int Find_DeleteMin(BST_Node *&P) {//返回子树的最小值并删除 节点指针要传递引用
    if (!P->left) {//如果已经没有左子节点，删除它
        BST_Node *t = P;
        int r = P->value;
        P = P->right;
        delete t;
        return r;
    }
    else return Find_DeleteMin(P->left); //如果还有左子节点，访问左子节点
}
void BST_Delete(BST_Node *&P, int value)//节点指针要传递引用
{
    if (!P) return ; //查找失败，BST 中不存在要删除的节点
    if (P->value == value) {//查找成功，对其删除
        if (P->left and P->right) P->value = Find_DeleteMin(P->right);
        else {
            BST_Node *t = P;
            if (P->left) P = P->left;
            else P = P->right;
            delete t;
        }
    }
    else if (value < P->value) BST_Delete(P->left, value); //在左子树中查找
    else BST_Delete(P->right, value); //在右子树中查找
}
int main() {
    BST_Delete(root, 2);//在 BST 中删除值 2
    return 0;
}

二叉查找树的平衡性问题讨论

二叉查找树的效果究竟如何？
事实上，随机的进行 $N^2(N>=1000)$ 次插入和删除之后，二叉查找树会趋向于向左偏沉
为什么会出现这种情况，原因是在于删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身
这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉
已经被证明，随机插入或删除 $N^2$ 次以后，树的期望深度为 $Θ(N^{\frac{1}{2}})$
我们可以在删除时随机地选择用前驱还是后继代替本身，以消除向一边偏沉的问题
这种神奇地做法消除了偏沉的不平衡，效果十分明显
对待随机的数据二叉查找树已经做得很不错了，但是如果有像这样 $6,5,4,3,2,1$ 有序的数据插入树中时，会有什么后果出现？
如图 $4$
二叉查找树退化成为了一条链
这个时候，无论是查找、插入还是删除，都退化成了 $Θ(N)$ 的时间
在这里插入图片描述
事实上，在实际的应用中，这种情况会经常出现，而简单的二叉查找树却没有办法变得更快
我们需要使二叉查找树变得尽量平衡，才能保证各种操作在 $Θ(logN)$ 的期望时间内完成，于是各种自动平衡二叉查找树（ $Self-Balancing$ $Binary$ $Search$ $Tree$ ）因而诞生
在常见的自动平衡二叉查找树（以下简称平衡树）中，有近乎完美平衡的 $AVL$ 树（ $Adelson-Velskii$ & $Landis$ $Tree$ ），红黑树（ $Red$ $Black$ $Tree$ ）和 $SBT$ （ $Size$ $Balanced$ $Tree$ ）等，以及期望平衡的伸展树（ $Splay$ $Tree$ ）和 $Treap$ （ $Tree$ & $Heap$ ）等数据结构。
$Treap$ 具有可观的平衡性，且最易于编码调试等特点，因此在信息学竞赛中被广泛地使用。
相应的，这里还有关于 $Treap$ 的讲解，有兴趣的同学可以来这里看一下——传送门