关于自然数e

已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。
用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。

从$e^{i \pi}+1=0 $欧拉公式看出，把字母e定义成自然数，和欧拉是有直接关系的。倒不太相信百科里说的欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。

\[e=\lim\limits_{x \to \infty }(1+\frac{1}{x})^x\]

其实从这个公式还是不太能看出来e=2.71828，谁一开始会想到这个式子就极限就是自然数e呢,何谈自然数e的重要性了。

但我们可以从对数和指数的关系来联系e的重要性。

\[f(x)^{g(x）}=e^{g(x)lnf(x)} \quad 转化为 A\cdot B型函数相乘形式\]
利用对数运算性质中的化平方为相乘的特性，我们知道自然数在对数运算中是最常用的底数。

对于对数运算：$log_ab=N$
对于指数求导$(a^x)'=a^x \cdot lna$
那么如果$lna=1$就好了，a等于多少，才会使得$lna=1$呢？
恰巧a等于自然数e的时候，lne=1.
于是，可以将a=e带入指数求导公式：
\[(e^x)'=e^x\]
对函数求导后依旧是其本身，这是一个很好的性质。

е主要出现在涉及增长的地方，比如说经济增长、人口增长、放射性衰变等，可以说е代表了自然率之美。

比如某个市人口为120万人，每年的人口增长率为20%:
一年后人口：100万+100万x20%=100万（1+20%）=120万
两年后人口：120万+120万x20%=120万（1+20%）=100万（1+20%）（1+20%）=
\[=100万(1+20\%)^2；指数2对应进过2年的人口增长 \]
三年后人口：=\[=100万(1+20\%)^3\]
四年后人口：=\[=100万(1+20\%)^4\]
X年后人口：=\[=100万(1+20\%)^X\]

当人口增长率不可能一直保持20%，因为生存空间有限，增长率应该是随着时间而降低的。假设增长率和时间X成反比，即增长率为$\frac{1}{X}$

那么上述人口增长的数学模型可以抽象为：
\[ f(x)=(1+\frac{1}{X})^X \]
当我们想知道很多年后的人口数量，即时间X趋向无穷$\infty$的人口时候即可得极限：

\[ \lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e \]