一、青蛙跳台阶
【题目】：
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。
【示例】：
| 台阶 | 青蛙跳法 |
|---|---|
| 1级台阶 | 1种跳法 |
| 2级台阶 | 2种跳法 |
| 3级台阶 | 3种跳法 |
| 4级台阶 | 5种跳法 |
【关键点】： 进阶斐波那契数列，动态规划
思路：
跳到第n个台阶，只有两种可能：
- 从第n-1个台阶跳1个台阶
- 从第n-2个台阶跳2个台阶
只需求出跳到第n-1个台阶和第n-2个台阶的可能跳法即可
解：设F（n）: n个台阶的跳法
递推公式：F（n）=F（n-1）+F（n-2）
不难发现这是一个斐波那契数列——起始条件为F（0）=1，F（1）=1
【Java】：
解法一：迭代（由下向上跳）
public class Solution {
public int JumpFloor(int target) {
if(target <= 0) return 0;//0
if(target == 1) return 1;//1
if(target == 2) return 2;//1+1,2
int one = 1;
int two = 2;
int result = 0;
for(int i = 2; i < target; i++){//3级台阶以上
result = one+ two;//前三级
one = two;
two = result;
}
return result;
}
}
迭代优化（最快！！）
public class Solution {
public int JumpFloor(int target) {
if(target <= 0) return 0;//0
if(target == 1) return 1;//1
if(target == 2) return 2;//1+1,2
int a = 1;
int b = 2;
int c = 0;
while(target>2){//3阶以上
c = a+ b;//从第三个数开始，斐波那契数等于前两个数的和；
a = b;//将前一个数给到a，开始下一次求值
b = c;//将斐波那契数给b，开始下一次求值
target--;
}
return c;
}
}
解法二：递归（由上向下减）
public class Solution {
public int JumpFloor(int target) {
if(target==1){
return 1;
}
else if(target==2){
return 2;
}
return JumpFloor(target-1)+JumpFloor(target-2);
}
}
二、变态跳台阶
【题目】：
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
【示例】：
| 台阶 | 变态跳法 |
|---|---|
| 1级台阶 | 1种跳法 |
| 2级台阶 | 2种跳法 |
| 3级台阶 | 4种跳法 |
| 4级台阶 | 8种跳法 |
【关键点】： 斐波那契数列的变种，贪心算法
思路： 本质上是斐波那契数列的变种，普通跳台阶是一步与两步，问题规模缩小到分成最后要跳到第 n 阶可以跳两次或者一次去求解，所以，在普通跳台阶，设置两个临时变量存下跳一次或者两次时，前面会有多少种可能的结果
这里用同一个套路来分析一下（跳数为n，n-1，…3，2，1的情况）
-
若楼梯阶级 n = 3
跳 3 步到 3：没有剩下步数没跳的，只有这样一种跳法
跳 2 步到 3：剩下的是第一步没跳，起始跳到第一步只有一种
跳 1 步到 3：剩下的是第二步没跳，起始跳到第二步有两种
求得，n = 3 时，有 4 种跳法 -
若楼梯阶级 n = 4
跳 4 步到 4：没有剩下步数没跳的，只有这样一种跳法
跳 3 步到 4：剩下的是第一步没跳，起始跳到第一步只有一种
跳 2 步到 4：剩下的是第二步没跳，起始跳到第二步只有两种
跳 1 步到 4：剩下的是第三步没跳，起始跳到第三步有四种
求得，n = 4 时，有 8 种跳法
若楼梯阶级 n = n
跳 x 步到 n 有几种的和
易知 f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……f(1)
f(n-1)=f(n-2)+……f(1)
两式相减得f(n)=2f(n-1)
【Java】：
迭代：
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
if (target <= 0) return 0;
if (target == 1) return 1;
int a = 1;
int b = 2;
for (int i = 2; i <= target; i++) {
b = 2 * a;
a = b;
}
return b;
}
}
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
if (target <= 0) return 0;
if (target == 1) return 1;
int a = 1;
int b = 2;
while(target>=2){
b = 2 * a;
a = b;
target--;
}
return b;
}
}
其他解法：
位移操做：（<<有符号左移位，将运算数的二进制整体左移指定位数，低位用0补齐。）
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
//位移操作
int a=1;
return a<<(target-1);
}
}
公式变形：2^(n-1)
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
//位移操作
if (target <= 0) return 0;
return (int) Math.pow(2, target - 1);
}
}
