一、选择问题
选最大 ：顺序比较，先选最大 max。
W
(
n
)
=
n
−
1
W(n)=n-1
W ( n ) = n − 1 选最大最小 ：1）顺序比较
W
(
n
)
=
2
n
−
3
W(n) = 2n-3
W ( n ) = 2 n − 3 2）分组算法
W
(
n
)
=
⌈
3
n
/
2
⌉
−
2
W(n) = ⌈3n/2⌉-2
W ( n ) = ⌈ 3 n / 2 ⌉ − 2 3）分治算法
W
(
n
)
=
⌈
3
n
/
2
⌉
−
2
W(n) = ⌈3n/2⌉-2
W ( n ) = ⌈ 3 n / 2 ⌉ − 2
1.顺序比较
W
(
n
)
=
2
n
−
3
W(n) = 2n - 3
W ( n ) = 2 n − 3 2.锦标赛算法 1）设参与比较的有 t 个元素，经过i 轮淘汰后元素数至多为⌈t /2i⌉ .
W
(
n
)
=
n
+
⌈
l
o
g
n
⌉
−
2
W(n) = n + ⌈log n⌉ - 2
W ( n ) = n + ⌈ l o g n ⌉ − 2
一、一般选择问题的算法设计
O
(
k
n
)
O (kn)
O ( k n )
O
(
n
l
o
g
n
)
O(nlogn)
O ( n l o g n ) 作为标准将 S 划分成 S1 与 S2，其中 S1的元素小于 m ，S2 的元素大于等于 m*。如果 k < |S1|，则在 S1中找第 k 小的数；如果 k = |S1|+1，则 m*是第 k 小的数；如果 k > |S1|+1，则在 S2中找第k-|S1|-1小的数。
可以将数组分为5个一组，，再每组找出来一个中位数，再在所有的中位数中找出中位数m* ，以这个数为界限分成两块，再再将不能确定的数注意与m* 比较，分好组之后，比较小于m* 一组数个数，与k的关系，译者递归下去，知道找到符合条件的数。
W
(
n
)
=
θ
(
n
l
o
g
n
)
W(n)=θ (nlogn)
W ( n ) = θ ( n l o g n )
一、向量计算 向量和 :
a
+
b
=
(
a
0
+
b
0
,
a
1
+
b
1
,
…
,
a
n
−
1
+
b
n
−
1
)
a+b = (a_0+b_0, a_1+b_1, …, a_{n-1}+b_{n-1})
a + b = ( a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , … , a n − 1 + b n − 1 ) 内积 :
a
∗
b
=
a
0
∗
b
0
+
a
1
∗
b
1
+
…
+
a
n
−
1
∗
b
n
−
1
a*b = a_0*b_0 + a_1*b_1 + … + a_{n-1}*b_{n-1}
a ∗ b = a 0 ∗ b 0 + a 1 ∗ b 1 + … + a n − 1 ∗ b n − 1 卷积 :
a
∗
b
=
(
c
0
,
c
1
,
…
,
c
2
n
−
2
)
a*b = (c_0, c_1, …, c_{2n-2})
a ∗ b = ( c 0 , c 1 , … , c 2 n − 2 )
Σ
i
+
j
=
k
;
i
,
j
<
n
a
i
∗
a
j
,
k
=
0
,
1
,
.
.
.
,
2
n
−
2
;
Σ_{i+j=k;i,j<n}a_i*a_j,k=0,1,...,2n-2;
Σ i + j = k ; i , j < n a i ∗ a j , k = 0 , 1 , . . . , 2 n − 2 ;
卷积与多项式乘法
A
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
…
+
a
m
−
1
x
m
−
1
A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_{m-1}x^{m-1}
A ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a m − 1 x m − 1
B
(
x
)
=
b
0
+
b
1
x
+
b
2
x
2
+
…
+
b
n
−
1
x
n
−
1
B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + … + b_{n-1}x^{n-1}
B ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + … + b n − 1 x n − 1
C
(
x
)
=
a
0
b
0
+
(
a
0
b
1
+
a
1
b
0
)
x
+
…
+
a
m
−
1
b
n
−
1
x
m
+
n
−
2
C(x) = a_0b_0 + (a_0b_1+a_1b_0) x + … + a_{m-1}b_{n-1} x^{m+n-2}
C ( x ) = a 0 b 0 + ( a 0 b 1 + a 1 b 0 ) x + … + a m − 1 b n − 1 x m + n − 2
卷积应用：信号平滑处理
二、卷积计算 1.蛮力算法
A
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
…
+
a
n
−
1
x
n
−
1
A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_{n-1}x^{n-1}
A ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n − 1 x n − 1
B
(
x
)
=
b
0
+
b
1
x
+
b
2
x
2
+
…
+
b
n
−
1
x
n
−
1
B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + … + b_{n-1}x^{n-1}
B ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + … + b n − 1 x n − 1
C
(
x
)
=
a
0
b
0
+
(
a
0
b
1
+
a
1
b
0
)
x
+
…
+
a
n
−
1
b
n
−
1
x
2
n
−
2
C(x) = a_0b_0 + (a_0b_1+a_1b_0) x + … + a_{n-1}b_{n-1} x^{2n-2}
C ( x ) = a 0 b 0 + ( a 0 b 1 + a 1 b 0 ) x + … + a n − 1 b n − 1 x 2 n − 2 2.快速傅立叶变换FFT
x
=
1
,
ω
1
,
ω
2
,
…
,
ω
2
n
−
1
x=1, ω_1, ω_2 , … , ω_{2n-1}
x = 1 , ω 1 , ω 2 , … , ω 2 n − 1
x
=
1
,
ω
1
,
ω
2
,
…
,
ω
2
n
−
1
x=1, ω_1, ω_2 , … , ω_{2n-1}
x = 1 , ω 1 , ω 2 , … , ω 2 n − 1
C
(
1
)
=
d
0
,
C
(
ω
1
)
=
d
1
,
…
,
C
(
ω
2
n
−
1
)
=
d
2
n
−
1
C(1)=d_0, C(ω_1)=d_1,…,C(ω_{2n-1})=d_{2n-1}
C ( 1 ) = d 0 , C ( ω 1 ) = d 1 , … , C ( ω 2 n − 1 ) = d 2 n − 1
D
(
x
)
=
d
0
+
d
1
x
+
d
2
x
2
+
…
+
d
2
n
−
1
x
2
n
−
1
D(x) = d_0+d_1x+d_2x^2+…+d_{2n-1}x^{2n-1}
D ( x ) = d 0 + d 1 x + d 2 x 2 + … + d 2 n − 1 x 2 n − 1
x
=
1
,
ω
1
,
ω
2
,
…
,
ω
2
n
−
1
x=1, ω_1, ω_2 , … , ω_{2n-1}
x = 1 , ω 1 , ω 2 , … , ω 2 n − 1
D
(
x
)
,
D
(
1
)
,
D
(
ω
1
)
,
…
,
D
(
ω
2
n
−
1
)
D(x), D(1), D(ω_1), … , D(ω_{2n-1})
D ( x ) , D ( 1 ) , D ( ω 1 ) , … , D ( ω 2 n − 1 )
多项式求值算法
A
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
…
+
a
n
−
1
x
n
−
1
A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_{n-1}x^{n-1}
A ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n − 1 x n − 1 1.蛮力法
a
i
∗
x
i
a_i*x^i
a i ∗ x i
a
i
∗
x
i
a_i*x^i
a i ∗ x i
T
1
(
n
)
=
O
(
n
3
)
T1(n) = O(n^3)
T 1 ( n ) = O ( n 3 ) 2.改进：
A
1
(
x
)
=
a
n
1
A1(x)=a{n_1}
A 1 ( x ) = a n 1
A
2
(
x
)
=
a
n
−
2
+
x
A
1
(
x
)
=
a
n
−
2
+
a
n
−
1
x
A
3
(
x
)
=
a
n
−
3
+
x
A
2
(
x
)
=
a
n
−
3
+
a
n
−
2
x
+
a
n
−
1
x
2
A2(x) =a{n-2}+xA_1(x) = a_{n-2}+a_{n-1}x A_3(x) =a_{n-3}+xA_2(x) = a_{n-3}+a_{n-2} x+a_{n-1}x^2
A 2 ( x ) = a n − 2 + x A 1 ( x ) = a n − 2 + a n − 1 x A 3 ( x ) = a n − 3 + x A 2 ( x ) = a n − 3 + a n − 2 x + a n − 1 x 2
A
n
(
x
)
=
a
0
+
x
A
n
−
1
(
x
)
=
A
(
x
)
A_n(x) =a_0+ x A_{n-1}(x) = A(x)
A n ( x ) = a 0 + x A n − 1 ( x ) = A ( x )
T
2
(
n
)
=
O
(
n
2
)
T_2(n) = O(n^2)
T 2 ( n ) = O ( n 2 )
偶系数与奇系数多项式
A
(
x
)
=
A
e
v
e
n
(
x
2
)
+
x
A
o
d
d
(
x
2
)
A(x) = A_{even}(x_2) + xA_{odd}(x_2)
A ( x ) = A e v e n ( x 2 ) + x A o d d ( x 2 )
3.分治多项式求值算法
A
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
…
+
a
n
−
1
x
n
−
1
A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_{n-1}x^{n-1}
A ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n − 1 x n − 1
A
e
v
e
n
(
x
)
=
a
0
+
a
2
x
+
a
4
x
2
+
…
+
a
n
−
2
x
(
n
−
2
)
/
2
A_{even}(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+…+a_{n-2}x^{(n-2)/2}
A e v e n ( x ) = a 0 + a 2 x + a 4 x 2 + … + a n − 2 x ( n − 2 ) / 2
A
o
d
d
(
x
)
=
a
1
+
a
3
x
+
a
5
x
2
+
…
+
a
n
−
1
x
(
n
−
2
)
/
2
A_{odd}(x)=a_1+a_3x+a_5x^2+…+a_{n-1} x^{(n-2)/2}
A o d d ( x ) = a 1 + a 3 x + a 5 x 2 + … + a n − 1 x ( n − 2 ) / 2
A
(
x
)
=
A
e
v
e
n
(
x
2
)
+
x
A
o
d
d
(
x
2
)
A(x) = A_{even}(x^2) + xA_{odd}(x^2)
A ( x ) = A e v e n ( x 2 ) + x A o d d ( x 2 )
时间复杂度：
T
(
n
)
=
O
(
n
l
o
g
n
)
T(n)=O(nlogn)
T ( n ) = O ( n l o g n )
问题（平面点集的凸包）
以 连接最大纵坐标点
y
m
a
x
y_{max}
y m a x
y
m
i
n
y_{min}
y m i n
y
m
a
x
y_{max}
y m a x
y
m
i
n
y_{min}
y m i n
D
e
a
l
(
L
l
e
f
t
)
Deal (L_{left} )
D e a l ( L l e f t )
D
e
a
l
(
L
r
i
g
h
t
)
Deal (L_{right} )
D e a l ( L r i g h t )
D
e
a
l
(
L
l
e
f
t
)
Deal (L_{left} )
D e a l ( L l e f t )
L
l
e
f
t
L_{left}
L l e f t
L
l
e
f
t
L_{left}
L l e f t
L
l
e
f
t
L_{left}
L l e f t
D
e
a
l
(
L
r
i
g
h
t
)
Deal (L_{right} )
D e a l ( L r i g h t )
