03算法-分治法

算法-分治法

本章是算法-分治法的总结，主要讲解分治法的思想，然后就课堂上的几个例子用Golang实现。

分治法的思想

Divide and Conquer
three step:
1)divide : one bigger to one or more subproblem
2)conquer: solve each subproblem recursively
3)combine

merge sort

归并算法的实现，其递归的式子为 $T(n) = 2*T(n/2) + \Theta(n)$ 这个式子满足case2的情况，即 $f(n)=\Theta(n^{\log_22}*{lgn}^0)$ and the answer is $T(n)=nlgn$

binary search

func binarySearch(src []int, left, right, objNum int){
   if left == right{
   	if src[left] == objNum{
   		fmt.Println(left)
   		return
   	}else {
   		fmt.Println("can't find num")
   		return
   	}
   }
   mid := (left+right)/2
   if src[mid] > objNum{
   	binarySearch(src, left, mid-1, objNum)
   }else if src[mid] < objNum{
   	binarySearch(src, mid+1, right, objNum)
   }else {
   	fmt.Println(mid)
   	return
   }
}

func BinarySearch(src []int, objNum int){
   if len(src) == 0 {
   	return
   }
   binarySearch(src, 0, len(src)-1, objNum)
}

其递归式是 $T(n)= T(n/2)+\Theta(1)$满足case2， $T(n)=lgn$

powering a number

func PowerNum(num, cnt int) int{
	if cnt == 1{
		return num
	}
	if cnt%2 == 0{
		temp := PowerNum(num, cnt/2)
		return temp*temp
	}else {
		temp := PowerNum(num, (cnt-1)/2)
		return temp*temp*num
	}
}

其递归式是 $T(n)= T(n/2)+\Theta(1)$满足case2， $T(n)=lgn$

Fibonacci numbers

type operCube [2][2]int

var srcMatrix operCube = operCube{{1,1},{1,0}}

func plusOfMatrix(A, B operCube) (C operCube){
   for i := 0; i < 2; i++{
   	a := A[i]
   	for k := 0; k < 2; k++{
   		b := [2]int{B[k][0], B[k][1]}
   		C[i][k] = plusOfVector(a, b)
   	}
   }
   return
}

func plusOfVector(a, b [2]int) (ans int){
   for i := 0; i<2; i++{
   	ans += a[i]*b[i]
   }
   return
}

func fibonacci2(cnt int) operCube {
   if cnt == 1 || cnt == 0{
   	return srcMatrix
   }
   if cnt%2 == 0{
   	temp := fibonacci2(cnt/2)
   	return plusOfMatrix(temp,temp)
   }else {
   	temp := fibonacci2((cnt-1)/2)
   	return plusOfMatrix(plusOfMatrix(temp,temp),srcMatrix)
   }
}

func Fibonacci2(cnt int) int{
   if cnt == 0 {
   	return fibonacci2(cnt)[1][1]
   }else {
   	return fibonacci2(cnt)[0][1]
   }
}

func Fibonacci1(step int) int {
   if step == 0 {return 0} else if step == 1{return 1}
   return Fibonacci1(step-1)+Fibonacci1(step-2)
}

这是Fibonacci数列的两种解法，一种的时间复杂度很高指数增长，利用数列的特性来解决的算法可以将时间复杂度提升到 $lgn$

matrix manipulation

这个讲解的过程中，用的了一些非常数学的手段去提高矩阵运算的速度，其实就是几个公式，然后合并一下，这里不做赘述

在芯片制造上的应用

在芯片制造上的应用是主方法反推的体现。对于完全二叉树的芯片结构就不画图了，但是他的面积为 $nlgn$我们是否有办法将这个结构降低到线性的 $n$呢？这需要怎样的一种结构呢？
首先n可以被分开为 $\sqrt{n}*\sqrt{n}$，我们知道什么样的递归式是 $\Theta(\sqrt{n})$呢？由公式可以得到为 $T(n) = 2T(n/4)+\Theta(1)$ 那么这是一个怎样的结构呢？