算法03-分治法
一、定义
分治法可以通俗的解释为：把一片领土分解，分解为若干块小部分，然后一块块地占领征服，被分解的可以是不同的政治派别或是其他什么，然后让他们彼此异化。
分治法的精髓：
- 分–将问题分解为规模更小的子问题；
- 治–将这些规模更小的子问题逐个击破；
- 合–将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；
分治法的应用：二分查找、快速排序、归并排序、循环赛日程表等。
二、二分查找
1、基本思想
分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。但是，折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。
查找过程：
首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。
2、代码实现
/**
* @param arr 被查找的数组
* @param start 查找开始的位置
* @param end 查找结束的位置(不包含)
* @param data 要查找的数据
* @return 查找数据在数组中的下标
*/
public static <E extends Comparable<E>> int binarySearch(E[] arr, int start, int end, E data) {
if (Tool.isEmpty(arr)) {
return -1;
}
int low = start;
// 包左不包右
int high = end - 1;
while (low < high) {
int mid = (low + high) >>> 1;
if (arr[mid].compareTo(data) == 0) {
return mid;
} else if (arr[mid].compareTo(data) > 0) {
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return -low;// 返回最后查找的位置
}三、快速排序
1、基本思想
快速排序（Quicksort）是对冒泡排序的一种改进。
快速排序由C. A. R. Hoare在1962年提出。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
快速排序:适用于数据量大的顺序表
为什么不适合链式表？
- 快速排序的过程，主要是查找比较数据，修改少；
- 快速排序是从两端查找比较，如果是单链表，性能会更差。
2、代码实现
/**
* @param arr：需要排序的数组
* @param start:开始排序的位置
* @param end:结束排序的位置(包含)
*/
public static <E extends Comparable<E>> void quicksort(E[] arr, int start, int end) {
if (Tool.isEmpty(arr) || start >= end) {
return;
}
int low = start;
int high = end;
//基准值
E data = arr[start];
//从两端开始，与基准值比较，小于基准值就放在左边，大于基准值就放在右边
while (low < high) {
//先找比基准值小的数据
while (low < high && data.compareTo(arr[high]) <= 0) {
high--;
}
//将小的数据放到左边
arr[low] = arr[high];
//再找比基准值小的数据
while (low < high && data.compareTo(arr[low]) >= 0) {
low++;
}
//将大的数据放到右边
arr[high] = arr[low];
}
//low即为基准值的下标
arr[low] = data;
//对左边的数据进行快速排序
quicksort(arr, start, low - 1);
//对右边的数据进行快速排序
quicksort(arr, low + 1, end);
}四、归并排序
1、基本思想
归并排序（MERGE-SORT）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
归并过程为：比较a[i]和b[j]的大小，若a[i]≤b[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中，并令i和k分别加上1；否则将第二个有序表中的元素b[j]复制到r[k]中，并令j和k分别加上1，如此循环下去，直到其中一个有序表取完，然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。
归并排序的算法我们通常用递归实现，先把待排序区间[s,t]以中点二分，接着把左边子区间排序，再把右边子区间排序，最后把左区间和右区间用一次归并操作合并成有序的区间[s,t]。
归并排序适用于数据量大的链表,占用内存比快速排序大。
2、代码实现
/**
* @param arr：需要排序的数组
* @param start:开始排序的位置
* @param end:结束排序的位置(包含)
*/
public static <E extends Comparable<E>> void megreSort(E[] arr, int start, int end) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return;
}
if (start >= end) {
return;
}
//二进制右移，相当于除以2
int mid = (start + end) >>> 1;
//先把左边排好序
megreSort(arr, start, mid);
//再把右边排好序
megreSort(arr, mid + 1, end);
//创建一个临时数组，用于拷贝数据
E[] copy = Arrays.copyOf(arr, arr.length);
int i = start;
int j = mid + 1;
//把左右两边合在一起：左边的数可能大于右边
for (int k = start; k <= end; k++) {
//将小的数据放到arr中
if (i <= mid && copy[i].compareTo(copy[j]) < 0) {
arr[k] = copy[i];
i++;
//左边的表中数据放完后，就直接放右表数据
} else if (i > mid && copy[i].compareTo(copy[j]) < 0) {
arr[k] = copy[j];
j++;
} else if (j <= end && copy[i].compareTo(copy[j]) >= 0) {
arr[k] = copy[j];
j++;
//右边的表中数据放完后，就直接放左表数据
} else if (j > end && copy[i].compareTo(copy[j]) >= 0) {
arr[k] = copy[i];
i++;
}
}
}五、循环赛日程表
1、介绍
循环赛日程表问题是指，设有n=2＾k个选手参加比赛，要求设计一个满足一下要求的比赛日程表:
- 每个选手必须与其他的n-1个选手个比赛一次；
- 每个选手每天只能赛一次 。
解决思路：
- 先将选手两两分组，知道每组只有两名选手；
- 然后对每组的两名选手安排赛程，先创建一个二维数组A，然后把二名选手按序号放到A的第一行，然后把1号选手复制到A的右下角，把2号选手复制到A的左下角，现在A的排序就是这两名选手的日程表；
- 然后把上面的分组再两两合并一次，那么新的分组由之前的两个小分组组成，将这两个小分组当成2个单位，参照步骤2对他们排序，排序结果就是它们的日程表；
- 重复步骤2和3，知道全部排好序。
2、代码实现
/**
* @param k 选手个数的2次幂
* @return 日程表
*/
public static int[][] cyclingRace(int k) {
// 选手个数
int n = 1 << k;
//日程表
int[][] result = new int[n][n];
// 初始化日程表
for (int j = 0; j < n; ) {
result[0][j] = ++j;
}
//先两两分组，排好序后，再两两合并，继续排序
for (int i = 0; i < k; i++) {
int len = 1 << i;
for (int j = 0; j < n; j += len * 2) {
// 将二维数组左上部分复制到右下部分
copyArr(result, 0, j, len, j + len, len);
// 将二维数组右上部分复制到左下部分
copyArr(result, 0, j + len, len, j, len);
}
}
return result;
}
/**
* 拷贝二维数组
*
* @param arr：被拷贝的二维数组
* @param a1：二维数组左上角的横坐标
* @param a2：二维数组左上角的纵坐标
* @param b1：二维数组右下起点的横坐标
* @param b2：二维数组右下起点的纵坐标
* @param len:拷贝的长度
*/
public static void copyArr(int[][] arr, int a1, int a2, int b1, int b2, int len) {
for (int i = 0; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < len; j++) {
arr[b1 + i][b2 + j] = arr[a1 + i][a2 + j];
}
}
}demo已上传gitee，需要的同学可以下载！