1. 分治法简介
分治法的就是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。
1.1 基本思想
当我们求解某些问题时，由于这些问题要处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出。对于这类问题，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。如果这些子问题还较大，难以解决，可以再把它们分成几个更小的子问题，以此类推，直至可以直接求出解为止。这就是分治策略的基本思想。一般情况下，还会用到二分法。
二分法：利用分治策略求解时，所需时间取决于分解后子问题的个数、子问题的规模大小等因素，而二分法，由于其划分的简单和均匀的特点，是经常采用的一种有效的方法，例如二分法检索。
1.2 解决步骤
分治法解题的一般步骤如下：
（1）分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题；
（2）求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决；
（3）合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。
1.3 具体算法
{
//开始
if(1、问题不可分)
2、返回问题解；
else
{
3、从原问题中划分出含一半运算对象的子问题1；
4、递归调用分治法过程，求出解1；
5、从原问题中划出含另一半运算对象的子问题2；
6、递归调用分治法过程，求出解2；
7、将解1、解2组合成整个问题的解；
}
}//结束
1.4 应用场景
运用分治策略解决的问题一般来说具有以下特点：
1、原问题可以分解为多个子问题。这些子问题与原问题相比，只是问题的规模有所降低，其结构和求解方法与原问题相同或相似。
2、原问题在分解过程中，递归地求解子问题。由于递归都必须有一个终止条件，因此，当分解后的子问题规模足够小时，应能够直接求解。
3、在求解并得到各个子问题的解后，应能够采用某种方式、方法合并或构造出原问题的解。
不难发现，在分治策略中，由于子问题与原问题在结构和解法上的相似性，用分治方法解决的问题，大都采用了递归的形式。在各种排序方法中，如归并排序、快速排序、堆排序等，都存在有分治的思想。另外，下列问题也可用分治策略解决：
Merge Two Sorted Lists（合并两个有序链表）- LeetCode 21
Merge k Sorted Lists（合并 K 个升序链表）- LeetCode 23
Top K 问题：前 K 个高频元素 - LeetCode 347
2. 二分查找
**问题描述：**给定 n 个元素，这些元素是有序的（假定为升序），从中查找特定元素 x。
**算法思想：**将有序序列分成规模大致相等的两部分，然后取中间元素与特定查找元素 x 进行比较，如果 x 等于中间元素，则查找成功，算法终止；如果 x 小于中间元素，则在序列的前半部分继续查找，即在序列的前半部分重复分解和治理操作；否则，在序列的后半部分继续查找，即在序列的后半部分重复分解和治理操作。
算法设计：
（1）设置查找区间：
int left; // C++自动初始化为0
int right = n;
（2）若查找区间 [left, right] 不存在，则查找失败，返回；否则执行（3）。
（3）取中间位 mid = (left + right)/2，比较 x 与 a[mid] ，有三种情况：
-
若 x < a[mid]，则right = mid - 1；查找在左半区间进行，转（2）；
-
若 x > a[mid]，则left = mid + 1；查找在右半区间进行，转（2）；
-
若 x = a[mid]，则查找成功，返回mid的值。
时间复杂度分析：
（1）顺序查找
- 最好时间复杂度：O(1)
- 最坏时间复杂度：O(n)
（2）二分查找
- 最好时间复杂度：O(1)
- 最坏时间复杂度：O(logn)
算法实现：
#include <iostream>
#include <vector>
int binarySearch(std::vector<int> nums, int l, int r, int x) {
if (l <= r) {
// 计算 mid 时需要防止溢出，left+(right-left)/2和(left+right)/2的结果相同，但是有效防止了left和right太大直接相加导致溢出
int mid = l + (r-l)/2;
if (nums[mid] == x) {
return mid;
} else if (nums[mid] > x) {
return binarySearch(nums, l, mid - 1, x);
} else {
return binarySearch(nums, mid + 1, r, x);
}
} else {
return -1;
}
}
int main() {
std::vector<int> nums{
2, 3, 4, 10, 40};
int x = 10;
int ans = binarySearch(nums, 0, nums.size() - 1, x);
if (ans == -1) {
std::cout << "未找到该数！" << std::endl;
} else {
std::cout << "该数的索引为：" << ans << std::endl;
}
return 0;
}