算法导论系列笔记之分治法

分治法

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步骤

• 分解，将问题划分成一些子问题，子问题的形式与原问题一样，只是规模更小
• 解决，递归的解决每个子问题
• 合并，将子问题的解组合成原问题的解

例子

归并排序

• 分解：将数组一分为二
• 解决：递归处理每一个子数组
• 合并：将排序好的子数组进行合并

分析其递归式

• T(n) = 2T(n/2) + Θ(n) n>1
• T(n) = Θ(1) n=1

二分查找法

• 分解：将x与排序数组的中间一个数进行比较
• 解决：在符合条件的一个子数组中递归处理
• 合并：不用做什么

分析

• T(n) = T(n/2) + Θ(1)

乘方问题

给一个数x，给一个正整数n，要求计算x^n

• 分解：考虑x的n/2次方
  • 要考虑n如果是奇数
    • 考虑x的(n-1)/2次方
• 解决：递归处理
• 合并：相乘

斐波那契数列：

f(n) = f(n-1) + f(n-2) n>1

解决办法

自下而上处理

• 从f_0、f_1、…计算到f_n
• 只需要线性的时间

朴素平方递归

• 使用数列性质 f_n = ()_n/根号5 理论机器->现有条件下无法

平方递归方法

• 利用定理

$(\begin{matrix} f(n+1) & f(n) \\ f(n) & f(n-1) \\ \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix})^n$

• Θ(logn)

矩阵乘法

给两个矩阵A和B，求A*B的

• 线性时间的计算的伪代码 【Θ(n^3)】

• 合并：求和，得到最终矩阵

分析

• 矩阵相加 Θ(n^2)

• 复杂度：T(n) = 8T(n/2) + Θ(n^2)

• 并没有更快

分治解决方法2 - Strassen算法

• 将8次递归降低到7次递归

步骤

• 将输入矩阵A、B和输出矩阵C分解为n/2×n/2的子矩阵。采用下标法只要θ(1)
• 创建10个n/2×n/2的矩阵，每个矩阵包括第一步创建的两个字矩阵的和或差
• 用步骤一和步骤2创建的矩阵递归计算7个矩阵积
• 用7个矩阵的不同组合进行加减，计算出结果

分析

• T(n) = 7T(n/2) +Θ(n^2)
• Θ(2.81)

VLSI 问题【超大规模继承电路

有一些电路，假设电路是完全二叉树，想在网格上，放入芯片布局，使在网格上占据最小空间

解决方法

朴素算法

• 自下向上画
• H(n) = H(n/2) + Θ(1) Θ(logn)
• W(n) = W(n/2) + O(1) O(n)
• 面积是Θ(nlgn)

改进【想法很值得学习

算法远远不止是代码，算法是生活

• 先通过主方法计算考虑可能的划分子问题

• 想要的子问题规模是n/4

• 使用H型布局【tql]】

• L(n) = 2L(n/4) + Θ(1)

• 从主方法分析递归式，进而优化布局

• 面积是Θ(n)