数学分析笔记7：定积分

定积分的定义与性质

定积分的定义

定积分的概念来源于求和运算的连续化，我们目前已知的求和手段都是有限求和，为了将求和运算扩充到无限个数求和，必须引入极限手段。扩充手段有两种——可列情形对应的是级数理论，不可列情形对应的则是积分。但我们都要首先清楚，本节所讨论的本质，就是无穷情形下的“求和”运算。
定义7.1 $f(x)$是定义在闭区间 $[a,b]$的函数， $x_0,x_1,\cdots,x_n$满足： $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，集合 $\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$称为 $[a,b]$的一个分划，记为 $\Delta$
对每个小区间： $[x_{i-1},x_i](i=1,\cdots,n)$，取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i](i=1,\cdots,n)$，和式： $\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)(x_i-x_{i-1})}$称为 $f(x)$在分划 $\Delta$下的一个Riemann和，记为 $S(\Delta,f)$

Riemann和有鲜明的几何意义，见下图，为了求得曲线 $y=f(x)$在 $[a,b]$区间上的曲线段下的面积，我们通常用有限矩体进行逼近。Riemann和的每一项对应一个矩形的面积，可以预见：当区间越分越细的时候，矩形面积和就逼近图形的真实面积，就是定积分的基本思想。
定义7.2 $f(x)$是定义在闭区间 $[a,b]$的函数， $\Delta = \{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是 $[a,b]$的任意分划，令 $\lambda(\Delta)=\max_{ 1\le i\le n}(x_{i}-x_{i-1})$，如果存在实数 $I$，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $\lambda(\Delta)<\delta$时，无论小区间内点如何选取，都有 $|S(\Delta,f)-A|<\varepsilon$则称 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上Riemann可积，简称可积， $I$称为 $f(x)$在闭区间 $[a,b]$上的积分，记为 $\int_a^b{f(x)dx}=I$
定积分的几何意义就是区间 $y=f(x)$与 $x$轴，连同 $x=a$， $x=b$围成图形的面积。

定积分的可积性理论——达布理论

下一个问题是：满足什么条件下， $f(x)$在闭区间 $[a,b]$是可积的？我们先从连续函数入手。
定理7.1 闭区间 $[a,b]$上的连续函数都是Riemann可积的

证：
为了证明闭区间 $[a,b]$上的连续函数 $f(x)$都是Riemann可积的，我们首先要找到一个实数 $I$，也就是 $f(x)$的积分值，其次，再证明 $f(x)$的积分就是 $I$。
第一步：找一个实数 $I$。
先取一个分划列 $\Delta_n=\{x^{(n)}_0,x^{(n)}_1,\cdots,x^{(n)}_{2^n}\}$，其中 $x^{(n)}_k=a+\frac{k}{2^n}(b-a)$，令区间 $I^{(n)}_k = [x^{(n)}_{k-1},x^{(n)}_k]$， $k=1,\cdots,2^n$， $n=1,2,\cdots$。那么 $\Delta_n$是 $\Delta_{n-1}$的加细（即 $\Delta_n\subset\Delta_{n-1}$)，再令 $M_k^{(n)} = \max_{x\in I_k^{(n)}}(f(x))$, $m_k^{(n)} = \min_{x\in I_k^{(n)}}(f(x))$，作和式 $\overline{S}(\Delta_{n}) = \sum_{k=0}^{2^n}{M_k^{(n)}\frac{b-a}{2^n}}$ $\underline{S}(\Delta_{n}) = \sum_{k=0}^{2^n}{m_k^{(n)}\frac{b-a}{2^n}}$则 $\overline{S}(\Delta_{n})$是单调下降的， $\underline{S}(\Delta_{n})$是单调上升。令 $\overline{I} = \lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta_{n})}$， $\underline{I} = \lim_{n\to\infty}{\underline{S}(\Delta_{n})}$ $\overline{S}(\Delta_{n})-\underline{S}(\Delta_{n}) =\frac{b-a}{2^n}\sum_{k=0}{(M_k^{(n)}-m_k^{(n)})}$由 $f(x)$在 $[a,b]$上连续， $f(x)$在 $[a,b]$上一致连续，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意的 $[a,b]$内两点 $x_1,x_2$
，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$再由连续性 $f(x)$在 $[a,b]$上可取得最大值和最小值。这样，只要 $\frac{b-a}{2^n}<\delta$就有 $(M_k^{(n)}-m_k^{(n)})<\frac{\varepsilon}{b-a}$ $\overline{S}(\Delta_{n})-\underline{S}(\Delta_{n})<\varepsilon$记 $I=\overline{I}=\underline{I}$
第二步，证明： $\int_a^b{f(x)dx}=I$
对任意的分划 $\Delta$，令 $\Delta^\prime_n = \Delta_n \cup \Delta$，再令 $\Delta^\prime_n = \{y_0^{(n)},y_1^{(n)},\cdots,y_{k_n}^{(n)}\}$，其中 $a=y_0^{(n)}<y_1^{(n)}<\cdots<y_{k_n}^{(n)}=b$，任取一个Riemann和 $S(\Delta,f)$，设 $\xi_k^{(n)}$是区间 $[y_{k-1}^{(n)},y_k^{(n)}]$在 $\Delta$中对应的分划中， $f(x)$的取点。 $M_k^{'\prime(n)},m_k^{\prime(n)}$是 $f(x)$在区间 $[y_{k-1}^{(n)},y_k^{(n)}]$的最大值和最小值。
同时令 $\overline{S}(\Delta^\prime_n) = \sum_{i=0}^{k_n} {M_k^{\prime(n)}(y_k^{(n)}-y_{k-1}^{(n)})}$ $\underline{S}(\Delta^\prime_n) = \sum_{i=0}^{k_n} {m_k^{\prime(n)}(y_k^{(n)}-y_{k-1}^{(n)})}$由于 $\Delta^\prime_n$是 $\Delta_n$的加细，就有 $\underline{S}(\Delta_n)\le\underline{S}(\Delta^\prime_n) \le\overline{S}(\Delta^\prime_n)\le\overline{S}(\Delta_n)$由夹逼准则，就有 $\lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta^\prime_n)} =\lim_{n\to\infty}{\underline{S}(\Delta^\prime_n)} =I$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $N$， $n\ge N$时，有 $|\lim_{n\to\infty}{\overline{S}(\Delta^\prime_n)}-I|< \frac{\varepsilon}{2}$取定一个 $n$，又由一致连续性，存在 $\delta>0$，当 $|x_1-x_2|<\delta$时， $|f(x_1)-f(x_2)<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$，这样，当 $\lambda(\Delta)<\delta$时， $|\xi_k^{(n)}-M_k^{\prime(n)}|< \frac{\varepsilon}{2(b-a)}$，于是 $|S(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_n)|<\frac{\varepsilon}{2}$ $|S(\Delta,f)-I|\le |S(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_n)| +|\xi_k^{(n)}-M_k^{\prime(n)}| < \varepsilon$

从正面过程可以知道，一致连续性对可积性来说是十分重要的一个性质。
对一般的函数，在每个小区间上不一定能取到最大值和最小值。然而，我们依然可以仿照以上证明过程，给出一个上和和下和的概念。
定义7.3 $f(x)$是闭区间 $[a,b]$的一个有界函数， $\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是 $[a,b]$的一个分划， $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$， $M_i = \sup_{x_{i-1}<x<x_i}{f(x)},m_i=\inf_{x_{i-1}<x<x_i}{f(x)}$，称和式 $\overline{S}(\Delta,f) = \sum_{i=0}^n{M_i(x_i-x_{i-1})}$是 $f$在 $[a,b]$上的达布上和， $\underline{S}(\Delta,f) = \sum_{i=0}^n{m_i(x_i-x_{i-1})}$是 $f$在 $[a,b]$上的达布下和

容易证明如下三条引理
引理7.1 $f(x)$是闭区间 $[a,b]$的一个有界函数， $\Delta=\{x_0,x_1,\cdots,x_n\}$是 $[a,b]$的一个分划， $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$， $\overline{S}(\Delta,f)$是一切 $f$在 $\Delta$上的Riemann和的上确界， $\underline{S}(\Delta,f)$是一切 $f$在 $\Delta$上的Riemann和的下确界

引理7.2 $f(x)$是闭区间 $[a,b]$的一个有界函数， $\Delta_1,\Delta_2$是 $[a,b]$的两个分划，并且， $\Delta_1\subset\Delta_2$，则 $\underline{S}(\Delta_1)\le\underline{S}(\Delta_2) \le\overline{S}(\Delta_2)\le\overline{S}(\Delta_1)$

引理7.3 $f(x)$是闭区间 $[a,b]$的一个有界函数，则 $f(x)$的任意达布下和不超过任意达布上和，即使他们对应不同的分划

这样，一切达布上和有下界，一切达布上和有上界，那么达布上和有下确界，我们记为 $\overline{I}$，达布下和有上确界，我们记为 $\underline{I}$，并且 $\underline{I}\le \overline{I}$。类似于连续函数可积性的证明过程，我们猜想： $\underline{I}= \overline{I}=I$时， $I$就是 $f(x)$在 $[a,b]$上的积分。
定理7.2 有界函数 $f(x)$在 $[a,b]$上可积的充要条件是： $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0$

证：
必要性，如果 $f(x)$在 $[a,b]$上可积，设 $I=\int_a^b{f(x)dx}$。
对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$,对任意的分划 $\Delta$，当 $\lambda(\Delta)<\delta$时，任意 $S(\Delta,f)$都有： $I-\varepsilon < S(\Delta,f) < I+\varepsilon$由引理7.2 $\overline{S}(\Delta,f)\le I+\varepsilon$ $\underline{S}(\Delta,f)\ge I-\varepsilon$就有 $I-\varepsilon \le \underline{S}(\Delta,f) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(\Delta,f) \le I+\varepsilon$这样， $\overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) \le 2\varepsilon$这就说明了， $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0$同时，由 $\varepsilon$的任意性，还可以得出 $\overline{I}=\underline{I}$的结论
充分性，如果 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}{[ \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f) ]}=0$由不等式： $\underline{S}(\Delta,f) \le \underline{I} \le \overline{I} \le \overline{S}(\Delta,f) \le$可以得出结论： $\overline{I}=\underline{I}$
设 $\overline{I}=\underline{I}=I$，对任意的分划 $\Delta$，就有 $\underline{S}(\Delta,f)\le I \le\overline{S}(\Delta,f)$对任意的Riemann和，都有 $\underline{S}(\Delta,f)\le S(\Delta,f) \le \overline{S}(\Delta,f)$这样， $0<|S(\Delta,f)-I|\le \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$， $\lambda(\Delta)<\delta$时，都有 $\overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)<\varepsilon$这样，任意的 $S(\Delta,f)$都有 $|S(\Delta,f)-I|<\varepsilon$这就证明了 $\int_a^b{f(x)dx}=I$

从证明的过程也可以看出，如果可积时，一定有 $\overline{I}=\underline{I}=\int_a^b{f(x)dx}$但上下积分相等能不能直接得到可积性呢？实际上，我们由如下的达布定理。

定理7.3（达布定理） $f(x)$是闭区间 $[a,b]$上的有界函数，则有 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \underline{S}(\Delta) = \underline{I} }$ $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \overline{S}(\Delta) = \overline{I} }$

由达布定理，就有如下推论：
推论7.1 $f(x)$是 $[a,b]$上的有界函数，则 $f(x)$在 $[a,b]$上Riemann可积的充要条件是 $\underline{I}=\overline{I}$

下面我们证明定理7.3：

证： 我们仅证 $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \overline{S}(\Delta) = \overline{I} }$， $\lim_{\lambda(\Delta)\to 0 }{ \underline{S}(\Delta) = \underline{I} }$的证明是类似的。
对任意 $\varepsilon>0$，取由上积分的定义，存在分划列 $\{\Delta_0\}$，满足 $\overline{I}\le \overline{S}(\Delta_0,f) <\overline{I} +\frac{\varepsilon}{2}$对任意的分划 $\Delta$，令 $\Delta^\prime_0=\Delta_0\cup\Delta$，就有
$\overline{I}\le \overline{S}(\Delta^\prime_0,f)\le \overline{S}(\Delta_0,f) < \overline{I} + \frac{\varepsilon}{2}$只要考察 $|\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta^\prime_0,f)|$即可
实际上，对 $\Delta$的每一个小区间，如果其中没有 $\Delta_n$的分点， $\Delta$和 $\Delta^\prime_n$对应的项没有差距，差别就体现在插入了 $\Delta_n$分点的小区间上。
不妨设 $|f(x)|\le M>0$，如果某个小区间插入了一个分点，那么对应的上确界之差不超过 $2M$，设 $N$为 $\Delta_n$的分点个数（ $N>2$)。那么，如果 $\Delta$的某个区间完全含在 $\Delta_0$的某个区间内，那么， $\Delta_0^\prime$内的某个区间与 $\Delta$的这个区间是相同的，不会对达布上和有影响，对达布上和有影响的只有插入了 $\Delta_0$分点的区间，最多只有 $N-2$个 $\Delta$的区间对达布上和影响，假设 $\Delta$的某个区间 $[x_{k-1},x_k]$中插入了一个分点 $c(c\in(x_{k-1},x_k))$，设 $f(x)$在 $[x_{k-1},c]$上的上确界为 $M_1$，在 $[c,x_k]$上上确界为 $M_2$，在 $[x_{k-1},x_k]$的上确界为 $M_0$，从而 $\begin{aligned} &|M_1(c-x_{k-1})+M_2(x_k-c)-M_0(x_k-x_{k-1})|\le 2M(x_k-x_{k-1}) \\\le &2M\lambda(\Delta) \end{aligned}$从而 $\begin{aligned} |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)|\le 2M(N-2)\lambda(\Delta) \end{aligned}$当 $\displaystyle \lambda(\Delta)<\frac{\varepsilon}{4M(N-2)}$时 $\begin{aligned} &|\overline{S}(\Delta,f)-\overline{I}|\\ \le & |\overline{S}(\Delta,f)-\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)|+|\overline{S}(\Delta_0^\prime,f)-\overline{I}|<\varepsilon \end{aligned}$因此 $\displaystyle \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\overline{S}(\Delta,f)=\overline{I}$

可积函数类

定积分的性质

下面，我们来证明定积分的一些性质。
定理7.4（有界性） $f(x)$在 $[a,b]$上可积，那么 $f(x)$就在 $[a,b]$上有界。

证：
设 $\int_a^b{f(x)dx}=I$，反证法证明，如果 $f(x)$无界，那么任取分划 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，必然有一个小区间无界，设就是 $[x_0,x_1]$
可以取得 $\xi_n\in[x_0,x_1]$，使得 $|f(\xi_n)|>n$，这样，无论 $\lambda(\Delta)$有多小，都可以取得 $\xi_n\in[x_0,x_1]$，在其他区间的取法给定的条件下，Riemann和可以任意大，与可积矛盾

因此，对积分的讨论都是建立在有界函数上的。下面我们还要证明如下的定理。
定理7.5 $f(x)$在 $[a,b]$上可积，则 $|f(x)|$在 $[a,b]$上可积

证：
这是因为对任意的 $x_1,x_2\in[a,b]$，都有 $||f(x_1)|-|f(x_2)||\le|f(x_1)-f(x_2)|$对任意的分划 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=n$， $0\le\overline{S}(\Delta,|f|)-\underline{S}(\Delta,|f|) \le \overline{S}(\Delta,f)-\underline{S}(\Delta,f)$令 $\lambda(\Delta)\to 0$，就有
$\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} { \overline{S}(\Delta,|f|)-\underline{S}(\Delta,|f|) } =0$

类似地，可以证明：
定理7.6 $f(x)$在 $[a,b]$上可积，则 $f(x)$在 $[a,b]$的任意子区间可积
证明比较简单，这里就不写出具体的证明过程了。
下面，我们就可以给出Riemann积分的一些性质。
定理7.7
(1)(线性性质) $f(x)$和 $g(x)$在 $[a,b]$上Riemann可积，则对任意的实数 $c,d$， $cf(x)+dg(x)$在 $[a,b]$上Riemann可积，并且 $\int_a^b{cf(x)+dg(x)dx} =c\int_a^b{f(x)dx}+d\int_a^b{g(x)dx}$(2)(不等式性质) $f(x)$和 $g(x)$在 $[a,b]$上Riemann可积，并且 $f(x)\le g(x) ,\forall x \in [a,b]$，则 $\int_a^b{f(x)dx}\le \int_a^b{g(x)dx}$(3)(绝对值性质) $f(x)$在 $[a,b]$上Riemann可积，则 $|\int_a^b{f(x)dx}|\le\int_a^b{|f(x)|dx}$(4)(区间可加性)对任意的 $a<c<b$， $f(x)$在 $[a,b]$上可积的充要条件是 $f(x)$在 $[a,c]$和 $[c,b]$上都可积，并且 $\int_a^c{f(x)dx} + \int_c^b{f(x)dx} =\int_a^b{f(x)dx}$

证：
(1)对任意的分划 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots,x_n=b$，对任意的 $\xi_k\in[x_{k-1},x_k](k=1,\cdots,n)$，有 $|\sum_{k=1}^{n}[cf(\xi_n)+dg(\xi_n)(x_{k}-x_{k-1})]-c\int_a^b{f(x)dx}-d\int_a^b{g(x)dx}|\le\\ |c||\sum_{k=1}^n{f(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{f(x)dx}| +|d||\sum_{k=1}^n{g(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{g(x)dx}|$对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$， $\lambda(\Delta)<\delta_1$时，有 $|\sum_{k=1}^n{f(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{f(x)dx}|<\frac{\varepsilon}{2|c|}$又存在 $\delta_2>0$， $\lambda(\Delta)<\delta_2$时，有 $|\sum_{k=1}^n{g(\xi_n)(x_k-x_{k-1})}-\int_a^b{g(x)dx}|<\frac{\varepsilon}{2|d|}$因此，当 $\lambda(\Delta)<\min(\delta_1,\delta_2)$时，就有 $|\sum_{k=1}^{n}[cf(\xi_n)+dg(\xi_n)(x_{k}-x_{k-1})]-c\int_a^b{f(x)dx}-d\int_a^b{g(x)dx}|<\varepsilon$(2)(3)的证明比较简单，省略
下面证明(4)：只证明前一个命题，后一个命题比较容易，而前一命题只需要证明充分性
实际上，由达布定理，我们只需要取得一个分划列 $\{\Delta_n\}$， $\lambda(\Delta_n)\to 0$，有 $\overline{S}(\Delta_n)-\underline{S}(\Delta_n)\to 0$就可以证得可积性，而这可以通过分别取 $[a,c]$和 $[c,b]$的分划列 $\{\Delta^{1}_n\}$和 $\{\Delta^2_n\}$，再合并成 $\{\Delta_n\}$即可证得结论。

微积分基本定理

微积分基本定理

上一章，我们把微分的逆运算称为“不定积分”，但从定积分的定义来看，“不定积分”离真正的“积分”的定义还相去甚远。本节要证明的微积分基本定理，正是搭起微分和积分的一座桥梁。
定理7.8(微积分基本定理) $f(x)$在 $[a,b]$上可积且原函数存在，原函数为 $F(x)$，则 $\int_a^b{f(x)dx} = F(b)-F(a)$

证：对 $[a,b]$的任意分划 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，有 $\tag{1} F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n{F(x_k)-F(x_{k-1})}$由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_k \in (x_{k-1},x_k)$，满足 $F(x_k)-F(x_{k-1})=f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})$ $k=1,\cdots,n$,代入(1)中，有 $F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n{f(\xi_k)(x_k-x_{k-1})}$再令 $\lambda(\Delta)\to 0$，按照定积分的定义，有
$\int_a^b{f(x)dx} = F(b)-F(a)$

微积分基本定理将原函数和积分联系在一起，而原函数是微分的逆运算，因此，在原函数存在的情况下，就为定积分的计算提供了一种手段。

变上限积分的性质

微积分基本定理要求 $f(x)$可积，可积性问题由达布理论可以解决。还要求 $f(x)$原函数存在，原函数存在性问题，我们至今没有介绍，现在，我们利用定积分，可以回答这个问题。
定理7.9
(1) $f(x)$在 $[a,b]$上可积，那么变上限积分 $\int_a^x{f(x)dx}$是 $[a,b]$上的连续函数
(2)如果 $f(x)$在 $[a,b]$上连续，那么变上限积分 $\int_a^x{f(x)dx}$在 $[a,b]$上可导，并且导函数为 $f(x)$

利用定理7.9的结论(2)，就有如下推论：
定理7.10(原函数存在定理) 闭区间上的连续函数都存在原函数

在证明定理7.9之前，我们先证明积分第一中值定理：
定理7.11(积分第一中值定理) $f(x)$在 $[a,b]$上连续，可积函数 $g(x)$在 $[a,b]$非负，则存在 $\xi\in[a,b]$，使得 $\int_a^b{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_{a}^b{g(x)dx}$

证：
设 $f(x)$在 $[a,b]$上的最大值和最小值分别为 $M$和 $m$，由积分的不等式性质，有 $m\int_{a}^b{g(x)dx}\le\int_a^b{f(x)g(x)dx}\le M\int_{a}^b{g(x)dx}$不妨设 $\int_{a}^b{g(x)dx}>0$，从而 $m\le\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^b{g(x)dx}}\le M$再由连续函数的介值定理，存在 $\xi\in[a,b]$，满足： $f(\xi)=\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^b{g(x)dx}}$

下面我们证明定理7.9：

证：(1) $|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}|\le \\|\int_x^{x+\Delta x}{f(x)dx}|\le \int_x^{x+\Delta x}{|f(x)|dx}$由 $f(x)$可积， $f(x)$有界，设 $|f(x)|\le M>0$，则 $|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}|\le M|\Delta x|$对任意的 $\varepsilon>0$，当 $|\Delta x|<\frac{\varepsilon}{M}$时，就有 $|\int_a^{x+\Delta x}{f(x)dx}-\int_a^x{f(x)dx}| <\varepsilon$(2) $\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\int_x^{x+\Delta x}{f(x)dx}}{\Delta x}}\\ =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}{f(\xi)} =f(x)$以上等式中的 $\xi$介于 $x$和 $x+\Delta x$之间

定积分的换元积分法和分部积分法

由微积分基本定理，我们就可以把求原函数的换元积分法和分部积分法，推广到定积分的计算当中。
定理7.12 $\phi(t)$在 $[a,b]$上可导， $f(\phi(t))\phi^\prime(t)$在 $[a,b]$上可积， $f(x)$在 $[\phi(a),\phi(b)]$上可积且原函数存在，则 $\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}$

证：
由于 $f(x)$在 $[\phi(a),\phi(b)]$上的原函数存在，设为 $F(x)$
$F(\phi(t))$是 $f(\phi(t))\phi^\prime(t)$在 $[a,b]$的原函数。
由微积分基本定理，有 $\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =F(\phi(b))-F(\phi(a))$ $\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx} =F(\phi(b))-F(\phi(a))$因此， $\int_a^b{f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt} =\int_{\phi(a)}^{\phi(b)}{f(x)dx}$

定理7.13 如果 $x=\phi(t)$的导数恒为正， $f(x)$在 $[a,b]$上可积， $f(\phi(t))\phi^\prime(t)$在 $[\phi^{-1}(a),\phi^{-1}(b)]$上存在原函数且可积，则
$\int_a^b{f(x)dx}=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}{ f(\phi(t))\phi^\prime(t)dt }$
定理7.14 $f(x),g(x)$可导， $g(x)$原函数为 $G(x)$， $f^\prime(x)G(x)$在 $[a,b]$上的原函数存在且可积，则 $\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(b)G(b)-f(a)G(a)-\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}$
证明是类似的，这里不证。

积分第二中值定理

积分第二中值定理在反常积分的证明中十分关键，我们先给出积分第二中值定理的内容。
定理7.15(积分第二中值定理) $g(x)$在 $[a,b]$上可积
(1) $f(x)$在 $[a,b]$上单调上升, $f(x)\ge0$，则存在 $\xi \in [a,b]$ $\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}$(2) $f(x)$在 $[a,b]$上单调下降， $f(x)\ge 0$，则存在 $\xi \in [a,b]$
$\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}$(3) $f(x)$在 $[a,b]$上单调，则存在 $\xi \in [a,b]$ $\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}+f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}$

由于定理的条件十分宽松，因此，我们不妨把条件加强给出一个简单的证明，再从这个证明中寻找证明的思路。
假设 $f(x)$在 $[a,b]$上单调上升且有连续导数， $g(x)$在 $[a,b]$连续，令 $G(x)=\int_x^b{g(t)dt}$， $G^\prime(x) = -g(x)$，由分部积分法： $\tag{3} \int_a^b{f(x)g(x)dx}=-\int_a^b{f(x)dG(x)} =-f(x)G(x)|_a^b + \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}\\ =f(a)\int_a^b{g(t)dt} + \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}$设 $M,m$是 $G(x)$在 $[a,b]$上的最大值和最小值，那么就有 $m\int_a^b{f^\prime(x)dx}\le \int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx} M \int_a^b{f^\prime(x)dx}$即 $m\le \frac{\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}}{f(b)-f(a)} \le M$再由连续函数的介值定理，存在 $\xi \in [a,b]$ $G(\xi) = \frac{\int_a^b{f^\prime(x)G(x)dx}}{f(b)-f(a)}$
再代入到(3)中，就可以得到 $\int_a^b{f(x)g(x)dx} =f(a)\int_a^\xi{g(x)dx}+f(b)\int_\xi^b{g(x)dx}$

虽然 $g(x)$不一定连续，但是只要 $g(x)$可积，函数 $G(x)=\int_a^x{g(t)dt}$就是连续的，不妨设 $f(x)$单调下降且非负，并且设 $f(a)>0$，只要我们证明了 $m\le\frac{\int_a^b{f(x)g(x)dx}}{f(a)}\le M$在利用连续函数的介值定理，就能证得结论(2)，只要证得结论(2) $\int_a^b{f(x)g(x)dx} = \int_a^b{[f(x)-f(a)]g(x)dx}+f(a)\int_a^b{g(x)dx}$再套用结论(2)，就能证得结论(3)的单调下降情形，也就是说，我们只需要证明结论(1)和(2)，就能证得结论(3)。

在一般的条件下，我们不能用分部积分法，只能借助定积分的定义进行证明，在证明之前，我们先给出阿贝尔变换。
引理7.4(阿贝尔变换) $a_1,\cdots,a_n$和 $b_1,\cdots,b_n$是实数， $B_k=\sum_{i=1}^k{b_k}$，则 $\sum_{k=1}^n{a_k b_k}=a_nB_n+\sum_{k=1}^{n-1}{(a_k-a_{k+1})B_k}$

下面我们用阿贝尔变换来证明结论(2)

证：
设 $f(x)$单调下降且 $f(b)\ge 0$，对任意的 $[a,b]$的分划 $\Delta$，其中 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，则 $\int_a^b{f(t)g(t)dt}=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} {\sum_{k=0}^n\int_{x_{k-1}}^{x_k}{f(t)g(t)dt}}$设 $|g(x)|\le M>0$ $|\sum_{k=1}^n{\int_{x_{k-1}}^{x_k}{f(t)g(t)dt}}- \sum_{k=1}^n{f(x_{k-1})\int_{x_{k-1}}^{x_k}{g(t)dt}}|\le \sum_{k=1}^{n}\int_{x_{k-1}}^{x_k}{|f(t)-f(x_{k-1})||g(t)|dt}\\\le M\sum_{k=1}^n{w_k(x_k-x_{k-1})}$当 $\lambda(\Delta)\to 0$时， $|\sum_{k=1}^n{\int_{x_{k-1}}^{x_k}{f(t)g(t)dt}}- \sum_{k=1}^n{f(x_{k-1})\int_{x_{k-1}}^{x_k}{g(t)dt}}|\to 0$因此，就有 $\int_a^b{f(t)g(t)dt}=\lim_{\lambda(\Delta)\to 0} \sum_{k=1}^n{f(x_{k-1})\int_{x_{k-1}}^{x_k}{g(t)dt}}$由阿贝尔变换： $\sum_{k=1}^n{f(x_{k-1})\int_{x_{k-1}}^{x_k}{g(t)dt}}\\ =\sum_{k=1}^{n-1}[f(x_{k-1})-f(x_k)]\int_a^{x_k}{g(t)dt} +f(x_{n-1})\int_a^b{g(t)dt}$设 $G(x)=\int_a^x{g(t)dt}$，设 $M,m$是 $G(x)$的最大值和最小值，就有 $f(a)m = m[f(x_{n-1})+\sum_{k=1}^{n-1}(f(x_{k-1})-f(x_k))] \le \sum_{k=1}^n{f(x_{k-1})\int_{x_{k-1}}^{x_k}{g(t)dt}} \le Mf(a)$因此，有 $f(a)m \le \int_a^b{f(x)g(x)dx} \le f(a)M$
再利用介值定理就可以证得结论

定积分的几何应用

平面图形的面积

我们知道定积分的几何意义是曲边梯形的面积，由此我们可以得到计算平面图形面积的方法。我们先引入最简单的两种情形——X型区域和Y型区域。所谓X型区域，即由两条曲线 $y=f(x),y=g(x),x\in[a,b]$以及两条直线 $x=a,x=b$围成的区域，其中 $f(x)\ge g(x),x\in[a,b]$，如下图所示：

由定积分的几何意义，阴影部分的面积为以 $y=f(x)$为顶边的曲边梯形的面积减去以 $y=g(x)$为顶边的曲边梯形的面积。于是，该X型区域的面积为 $\displaystyle \int_a^b [f(x)-g(x)]dx$。同样地可以给出Y型区域以及其面积的求法。这是比较简单的情形，我们常常遇到的是由某一个曲线围成的图形，而曲线常常由参数方程 $\gamma: \begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}$其中 $t\in[\alpha,\beta]$，并且 $x(\alpha)=x(\beta),y(\alpha)=y(\beta)$，除了起点和终点外没有重合的点。我们再规定 $x(t),y(t)$连续可导，即有连续的导数。这种情形下，围成的图形的面积应该如何计算呢？我们先对 $\gamma$进行定向，如下图所示

为何规定正定向呢，我们先来看 $\gamma$围成一个X型区域的情形

当 $t$从 $\alpha$变动到 $t_1$时， $x(t)$严格单调上升，存在反函数 $t=t^{-1}(x)$，代入到 $y=y(t)$，得到 $y=y(t^{-1}(x))=\phi(x)$，这样，由 $y=\phi(x),x\in[x(t_1),x(\alpha)]$为顶边的曲边梯形的面积为 $S_1=\int_{x(t_1)}^{x(\alpha)}\phi(x)dx$作变换 $x=x(t)$，得到 $S_1=\int_{t_1}^\alpha y(t)x^\prime(t)dt=-\int_{\alpha}^{t_1}y(t)x^\prime(t)dt$同理，当 $t$从 $t_1$变动到 $\beta$时， $x(t)$单调上升，其反函数 $t=t_2^{-1}(x)$代入到 $y=y(t)$中，得到 $\phi_2(x)=y(t_2^{-1}(x))$，以 $y=\phi_2(x)$为顶边的曲边梯形的面积为 $S_2=\int_{x(t_1)}^{x(\beta)}\phi_2(t)dt=\int_{t_1}^\beta y(t)x^\prime(t)dt$从而X型区域的面积为 $S=S_1-S_2=-\int_\alpha^\beta y(t)x^\prime(t)dt$类似地，如果围成的区域是一个Y型区域，那么，计算公式为 $\displaystyle \int_\alpha^\beta x(t)y^\prime(t)dt$。在上面求解过程中，正定向移动起到面积正负抵消的作用，对于一般的图形，若在某个过程 $[t_1,t_2]$中， $x(t)$单调下降，那么按照公式，其曲边梯形的面积取正值，若单调下降，按公式，其曲边梯形的面积取负值，运动一周后，正负相抵，恰好得到 $\gamma$所围成的图形的面积。我们以下面的图形来说明这一点

令 $\displaystyle S(t)=-\int_{\alpha}^t y(t)x^\prime(t)dt$，则随着 $t$从 $\alpha$增大到 $\beta$，有 $\begin{aligned} S(t_1)&=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6\\ S(t_2)&=S_1+S_2+S_6\\ S(t_3)&=S_1+S_2+S_6+S_3+S_4\\ S(\beta)&=S_1+S_4+S_6 \end{aligned}$可见，对于一般的曲线围成的区域，其面积计算公式 $\begin{aligned} S&=-\int_\alpha^\beta y(t)x^\prime(t)dt=\int_\alpha^\beta x(t)y^\prime(t)dt\\ &=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta[x(t)y^\prime(t)-y(t)x^\prime(t)]dt \end{aligned}$简记为 $S=\frac{1}{2}\int_\gamma xdy-ydx$

例7.1 推导椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的面积公式

解：用参数方程表示 $\begin{cases} x=a\cos{\theta}\\ y=b\sin{\theta} \end{cases} ,\theta\in[0,2\pi]$椭圆的面积为 $S=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}[(a\cos\theta).(b\cos\theta)-(b\sin\theta)(-a\sin\theta)]d\theta=ab\pi$

微元法

定积分解决的是连续量连续变化的积累或连续作用的总和，这个积累或总和表现出来的是一个量，记为 $A$。比如在物理学中求解变速直线运动的位移，应当如何做呢？在时间 $[0,T]$内，速度 $v(t)$连续变化，为了求解整个过程的位移，我们首先要对 $[0,T]$进行划分 $\Delta:0=t_0<t_1<\cdots<t_n=T$，分别求解 $[t_{k-1},t_k]$时间段内的位移 $S_k$ $(k=1,2,\cdots,n)$，设总的位移为 $S$，则 $\displaystyle S=\sum_{k=1}^n S_k$。只要 $\displaystyle\lambda = \max_{1\le i\le n}\Delta t_k$足够小， $v(t)$在 $[t_{k-1},t_k]$振幅极小（由一致连续性），从而我们将其视为匀速直线运动，任取 $\zeta_k\in[t_{k_1},t_k]$，估计 $S_k \approx v(\zeta_k)\Delta t_k$，从而估计 $S\approx\sum_{k=1}^nv(\zeta_k)\Delta t_k$令 $\lambda\to 0$，这时取精确值 $\displaystyle S=\int_0^T v(t)dt$。为什么可以这么取呢？实际上，有估计式： $m_k\Delta t_k\le S_k \le M_k \Delta t_k$其中 $m_k$和 $M_k$是 $v(t)$在 $[t_{k-1},t_k]$上的最小值和最大值，则 $\sum_{k=1}^n m_k\Delta t_k \le S \le \sum_{k=1}^n M_k \Delta t_k$而 $\lambda \to 0$时，不等式两边都趋于 $\displaystyle \int_0^T v(t)dt$，这就说明了 $\displaystyle S=\int_0^T v(t)dt$。我们总结一下以上用定积分求解的过程：要考察某个连续量在区间 $[a,b]$上的累积作用 $S$，首先要要求这个量是和某个区间相联系的，并且具有区间可加性
$\underline{第一步}$：划分区间 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$
$\underline{第二步}$：假设连续量在区间 $[x_{k-1},x_k]$上的作用为 $S_k$，估计 $S_k$为 $S_k=f(\zeta_k)\Delta x_k$这其中 $f(x)$是以连续函数， $\zeta_k\in[x_{k-1},x_k]$，至于 $f(x)$如何确定，需要由相应的物理规律或几何知识加以确定，这是最关键的一步
$\underline{第三步}$：求和取极限，解得 $\displaystyle S=\int_a^b f(x)dx$
第二步我们可以写成 $dS=f(x)dx$，两边积分就有 $\int_a^b dS = \int_a^b{f(x)dx}$这很类似于微分的形式，因此我们把这种方法称为微元法， $dS$称为微元

极坐标下平面图形的面积

对极坐标下的曲线 $r=r(\theta)\ge 0,\theta\in[\alpha,\beta],\beta-\alpha<2\pi$，求 $r=r(\theta),\theta=\alpha,\theta=\beta$围成的图形的面积。我们用微元法来求解：

1. 将 $[\alpha,\beta]$划分为 $\alpha=a_0<a_1<\cdots<a_n=\beta$，令 $S$为 $r=r(\theta),\theta=\alpha,\theta=\beta$围成的图形的面积， $S_k$为 $r=r(\theta),\theta=a_{k-1},\theta=a_k$围成的图形的面积， $\displaystyle S=\sum_{k=1}^n S_k(k=1,\cdots,n)$
2. 估计 $S_k=\frac{1}{2} r^2(\zeta_k)\Delta \theta(k=1,2,\cdots,n)$
3. 加总，求极限，得到 $\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta{r^2(\theta)d\theta}$

如图，上述的第二步实际上就是取某一个半径，以一个扇形取估计 $S_k$，如下图所示

实际上，设 $r(\theta)$在 $[a_{k-1},a_k]$上的最小值的最大值分别为 $m_k,M_k$，则 $\frac{1}{2}m_k^2\Delta \theta_k \le S_k\le \frac{1}{2}M_k^2 \Delta \theta_k\\ \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n m_k^2\Delta \theta_k \le S\le \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n M_k^2\Delta \theta_k$令 $\lambda \to 0$，得到 $\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta$
从微元的观点看， $dS=\frac{1}{2}r^2(\theta)d\theta$

例7.2 求心脏线 $r=a(1+\cos\theta),\theta\in[0,2\pi]$所围成的面积，其中 $a>0$

解：

$\displaystyle S=\frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta=\frac{3}{2}a^2\pi$

旋转体体积

对于 $[a,b]$上的连续函数 $f(x)$，曲线 $y=f(x),x\in[a,b]$绕着 $x$轴旋转一周，得到的几何体的体积该如何求呢？我们将 $[a,b]$作分划 $\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，设 $V$为 $y=f(x),x\in[a,b]$绕着 $x$轴旋转一周，得到的几何体的体积， $V_k$为 $y=f(x),x\in[x_{k-1},x_k]$绕着 $x$轴旋转一周 $(k=1,\cdots,n)$，按微元法，下面需要对 $V_k$进行估计，假设在 $[x_{k-1},x_k]$上 $f(x)$是常数，得到的几何图形是一个圆柱体，从而 $dV=\pi f^2(x) dx$，由微元法 $V=\pi\int_a^b{f^2(x)dx}$从另一个角度看，设 $f(x)$在 $[x_{k-1},x_k]$上的最大值和最小值为 $M_k,m_k$，这样 $\pi m_k^2 \Delta x_k \le V_k \le \pi M_k^2\Delta x_k\\ \pi \sum_{k=1}^n m_k^2 \Delta x_k \le V \le \pi \sum_{k=1}^n M_k^2\Delta x_k$两边令 $\lambda \to 0$，就有 $\displaystyle V=\pi \int_a^b f^2(x)dx$。类似地， $x=g(y),y\in[a,b]$绕着 $y$轴旋转得到的旋转体的体积应该为 $\displaystyle V = \pi \int_a^b g^2(y)dy$。

平面曲线的长度

对于一段平面曲线 $\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases},t\in[a,b]$如何求解其长度呢，求解线段的长度是容易的，因此我们首先想到先将 $[a,b]$作一个分划 $\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$，设 $[t_{k-1},t_k]$段的长度为 $s_k$， $[a,b]$段的长度为 $s$，就有 $\displaystyle s=\sum_{k=1}^ns_k$，对于 $s_k$，我们采用两端点之间线段的长度来估算 $s_k\approx \sqrt{(x(t_k)-x(t_{k-1}))^2+(y(t_k)-y(t_{k-1}))^2}$我们设 $x(t),y(t)$有连续的导数，此时这段曲线是光滑的曲线，由拉格朗日中值定理，存在 $\zeta_k,\xi_k \in [x_{k-1},x_k]$，满足 $x(t_k)-x(t_{k-1})=x^\prime(\zeta_k)\Delta t_k,y(t_k)-y(t_{k-1})=y^\prime(\xi_k)\Delta t_k$，从而 $s_k\approx\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k\\ s\approx \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k}$由于 $x^{\prime}(t)$在 $[a,b]$上连续，因此一致连续，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，当 $|t^\prime-t^{\prime\prime}|<\delta_1$时， $\left|f(t^\prime)-f(t^{\prime\prime})\right|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$，当 $\lambda(\Delta)<\delta$时 $\begin{aligned} &\left| \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k} - \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k} \right| \\&\le \sum_{k=1}^n \frac{ \left| x^\prime(\xi_k)-x^\prime(\zeta_k)\right|(|x^\prime(\xi_k)|+|x^\prime(\zeta_k)|) }{ {\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}} + {\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}} }\Delta t_k \\&\le\sum_{k=1}^n \left| x^\prime(\xi_k)-x^\prime(\zeta_k)\right|\Delta t_k<\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$因此，我们估计 $s\approx \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k}$存在 $\delta_2>0$，当 $\lambda(\Delta)<\delta_2$时 $\left| \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k} -\int_a^b\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt \right|<\frac{\varepsilon}{2}$从而当 $\lambda(\Delta)<\min{(\delta_1,\delta_2)}$时 $\left| \sum_{k=1}^n{\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k} - \int_a^b\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt\right|<\varepsilon$从而 $\begin{aligned} &\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\sum_{k=1}^n{\sqrt{(x(t_k)-x(t_{k-1}))^2+(y(t_k)-y(t_{k-1}))^2}} \\=& \int_a^b\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt \end{aligned}$若 $y=f(x)$在 $[a,b]$上有连续的导数，其参数方程为 $\begin{cases} x=x\\ y=f(x) \end{cases}$其弧长为 $\displaystyle L=\int_a^b\sqrt{1+f^{\prime2}(x)}dx$
若是极坐标系表示曲线 $r=r(\theta),\theta \in[\alpha,\beta]$，可以改写为参数方程形式 $\begin{cases} x=r(\theta)\cos\theta\\ y=r(\theta)\sin\theta \end{cases}$则弧长为 $\displaystyle L=\int_\alpha^\beta{\sqrt{r^{\prime2}(\theta)+r^2(\theta)}d \theta}$
这在微元法中，相当于微元为 $dS=\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt$，我们称为弧长微元

旋转体的侧面积

下面我们来讨论旋转体侧面积的求解，对曲线 $\gamma:\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases},t\in [a,b]$并且 $x(t),y(t)$都有连续的导数，同时， $x^\prime(t)>0,x\in[a,b]$，首先，取分划 $\Delta:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$，我们令 $M_k(x(t_k),y(t_k))(k=0,1,\cdots,n)$，利用 $M_1,M_2,\cdots,M_n$将曲线分隔开若干段。在 $[t_{k-1},t_k]$段绕 $x$轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为 $S_k$，整段曲线绕 $x$轴旋转一周所得的旋转体的侧面积为 $S$，有 $\displaystyle S=\sum_{k=1}^nS_k$。下面我们来估算 $S_k（k=1,\cdots,n)$。连接 $M_{k-1},M_k$所得的线段 $M_{k-1}M_k$绕 $x$轴旋转一周的旋转体是一个圆台。圆台的上底面半径为 $r_1$，下底面半径为 $r_2$，母线长为 $l$，则圆台的侧面积为 $\pi(r_1+r_2)l$，我们就以 $M_{k-1}M_k$绕 $x$轴旋转一周形成的圆台的侧面积作为 $S_k$的估计，对 $k=1,\cdots,n$，容易写出 $S_k$的估计为 $S_k \approx \pi(y(t_{k-1})+y(t_k))\sqrt{[x(t_k)-x(t_{k-1})]^2+[y(t_k)-y(t_{k-1})]^2}$由介值定理，存在 $\xi_k \in [t_{k-1},t_k]$，满足 $y(\xi_k)=\frac{y(t_{k-1})+y(t_k)}{2}$，由拉格朗日中值定理，存在 $\zeta_k,\gamma_k\in[t_{k-1},t_k]$，满足 $x(t_k)-x(t_{k-1})=x^\prime(\zeta_k)\Delta t_k\\ y(t_k)-y(t_{k-1})=y^\prime(\gamma_k)\Delta t_k$则 $\begin{aligned} &\pi(y(t_{k-1})+y(t_k))\sqrt{[x(t_k)-x(t_{k-1})]^2+[y(t_k)-y(t_{k-1})]^2} \\=&2\pi y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}\Delta t_k \end{aligned}$设 $|y(t)|\le M>0,t\in[a,b]$，再由 $x^{\prime}(t),y^{\prime}(t)$在 $[a,b]$上连续，故一致连续，对任意的 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，当 $|t^\prime-t^{\prime\prime}|<\delta_1$时，有 $|x^{\prime}(t^\prime)-x^\prime(t^{\prime\prime})|<\frac{\varepsilon}{8\pi M(b-a)},|y^{\prime}(t^\prime)-y^\prime(t^{\prime\prime})|<\frac{\varepsilon}{8\pi M(b-a)}$。则当 $\lambda(\Delta)<\delta_1$时 $\begin{aligned} &2\pi\left| \sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}\Delta t_k -\sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k \right| \\\le&2\pi\sum_{k=1}^n |y(\xi_k)|\left| \frac{ x^{\prime2}(\zeta_k)-x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)-y^{\prime2}(\xi_k) }{ \sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}+\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)} } \right|\Delta t_k \\\le&2M\pi\sum_{k=1}^n[|x^\prime(\zeta_k)-x^\prime(\xi_k)|\frac{ |x^\prime(\zeta_k)|+|x^\prime(\xi_k)| }{ \sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}+\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)} } \\+&|y^\prime(\gamma_k)-y^\prime(\xi_k)|\frac{ |y^\prime(\gamma_k)|+|y^\prime(\xi_k)| }{ \sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}+\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)} }]\Delta t_k \\< & 2M\pi\sum_{k=1}^n[\frac{\varepsilon}{4M(b-a)\pi}\Delta t_k] =\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$再由定积分的定义，存在 $\delta_2>0$，当 $\lambda(\Delta)<\delta_2$时 $2\pi\left| \sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k -\int_a^b{y(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt}\right|<\frac{\varepsilon}{2}$当 $\lambda(\Delta)<\min(\delta_1,\delta_2)$时 $\begin{aligned} &\pi|\sum_{k=1}^n(y(t_{k-1})+y(t_k))\sqrt{[x(t_k)-x(t_{k-1})]^2+[y(t_k)-y(t_{k-1})]^2} \\&-2\int_a^b{y(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt}|\\=&2\pi|\sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}\Delta t_k-\int_a^b{y(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt}|\\\le&2\pi| \sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\zeta_k)+y^{\prime2}(\gamma_k)}\Delta t_k-\sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k |\\+&2\pi|\sum_{k=1}^n y(\xi_k)\sqrt{x^{\prime2}(\xi_k)+y^{\prime2}(\xi_k)}\Delta t_k-\int_a^b{y(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt}|\\<&\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{aligned}$即 $\begin{aligned} &\lim_{\lambda(\Delta)\to 0}\pi \sum_{k=1}^n(y(t_{k-1})+y(t_k))\sqrt{[x(t_k)-x(t_{k-1})]^2+[y(t_k)-y(t_{k-1})]^2}\\=&2\pi\int_a^by(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt \end{aligned}$侧面积就为 $\displaystyle 2\pi\int_a^by(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt$，从微元法的角度看，即是 $dS=2\pi y(t)\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt$。利用这个结果，可以得到直角坐标系下旋转体的侧面积为 $\displaystyle 2\pi\int_a^b{y(x)\sqrt{1+y^{\prime2}(x)}dx}$，同理也可以写出极坐标系下的公式，这里就不再赘述了。