欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应分析

二阶系统标准形式
$\Phi (s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n^2}$
极点为：
$s=-\zeta \omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$
当 $0<\zeta<1$时，称为二阶欠阻尼系统。此时系统极点为一对共轭负根
$s=-\zeta \omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$
对应的大致冲击响应为 具体过程暂无
$\phi(t)=e^{-at}sin(\omega t + \beta)$
可见呈阻尼震荡的运动模态

现在分析，在输入 $r(t)$为阶跃信号 $\varepsilon (t)$时，二阶欠阻尼系统的输出信号 $c(t)$
$\begin{aligned} C(s) &=R(s)\cdot \Phi(s) \\ &=\frac 1s \cdot \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_n s+\omega_n^2} \end{aligned}$
将系统传递函数分母配方
$\Phi (s) = \frac{\omega_n^2}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_n^2(1-\zeta^2)}$
记 $\omega_n^2(1-\zeta^2)$为 $\omega_d^2$ ， $C(s)$部分分式分解
$\frac {b_1}s+\frac{a_1s+b_2}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}+\frac{b_3}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}$
得待定系数方程
$\begin{cases} b_1 + a_1 =0 \\ 2\zeta\omega_n b_1+b_2+b_3 =0 \\ \omega_n^2 b_1 = \omega_n^2 \end{cases}$
这里取 $b_2=b_3=\zeta\omega_n$，故 $C(s)$分解为
$C(s)=\frac 1s - \frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}$
根据Laplace变换表得
$\begin{aligned} c(t)&=\varepsilon(t)-e^{-\zeta\omega_nt}\cos \omega_d t-\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}e^{-\zeta\omega_nt}\sin\omega_d t \\ &=\varepsilon(t)-e^{-\zeta\omega_nt}\cos \omega_d t-\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_nt}\sin\omega_d t \\ &=\varepsilon(t)-e^{-\zeta\omega_nt}(\cos \omega_d t+\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\omega_d t) \\ &=\varepsilon(t)-e^{-\zeta\omega_nt}\cdot \sqrt{1+\frac{\zeta^2}{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t + \beta) \\ &=\varepsilon(t)-e^{-\zeta\omega_nt}\cdot \sqrt{\frac 1{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t + \beta) \end{aligned}$

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳定的，最终趋向于单位阶跃信号
其中
$\beta = \arctan \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}$为输出相位延迟(滞后角)
$\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$为阻尼振荡频率
$\sigma=\zeta\omega_n$衰减系数
可见，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应完全由系统参数 $\zeta$和 $\omega_n$决定

然后再来看系统性能指标

• 上升时间 $t_r$：阶跃响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。对于有振荡的系统，也可定义为响应从0第一次上升到终值所需的时间。
  故令 $c(t)=1$即
  $1-e^{-\sigma t}\sqrt{\frac 1{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t + \beta) = 1 \\ \Rightarrow \sin(\omega_d t + \beta) = 0$
  解得 $t= \frac{k\pi-\beta}{\omega_d}$,由于 $t\ge 0$，故 $t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}$

• 峰值时间 $t_p$：阶跃响应曲线越过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。
  根据导数在极值点为0可知：
  $\begin{aligned} \frac {d\ c(t)}{dt} &= \frac{\zeta \omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}e^{-\zeta \omega_n t}}\sin(\omega_dt+\beta)-\frac{\omega_d}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{\zeta\omega_nt}\cos(\omega_dt+\beta) \\ &=\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}[\zeta\omega_n\sin(\omega_dt+\beta)-\omega_d\cos(\omega_dt+\beta) ] \end{aligned}$
  令 $\frac {d\ c(t)}{dt}\mid_{t=tp}=0$，即
  $\frac{e^{-\zeta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\zeta^2}}[\zeta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\beta)-\omega_d\cos(\omega_dt_p+\beta) ] =0$
  由于 $\frac{e^{-\zeta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\neq 0$,所以上式变为
  $\begin{aligned} \zeta\omega_n\sin(\omega_dt_p+\beta)-&\omega_d\cos(\omega_dt_p+ \beta)=0 \\ \tan(\omega_dt_p+\beta)&=\frac{\omega_d}{\zeta\omega_n} \\ \omega_dt_p+\beta = k\pi&+\arctan\frac{\omega_d}{\zeta\omega} \end{aligned}$
  带入 $\beta$和 $\omega_d$的表达式，及 $t_p$定义得
  $t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$

• 调节时间 $t_s$：阶跃响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围(误差带：通常取±5%或±2%)内，所需的最短时间。

• 超调量：阶跃响应曲线的最大偏离量h(tp)与终值之差的百分比
  
  最大超调量在峰值时间发生，故
  $\begin{aligned} \phi(t_p)&=1-\frac 1{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta\omega_nt}\sin(\omega_dt_p+\beta) \\ &=1+e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}} \end{aligned}$
  可知
  $\begin{aligned} \sigma_p\% &= \frac{\phi(t_p)-\phi(\infty)}{\phi(\infty)}\times 100\% \\ &=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-zeta^2}}}\times 100\% \end{aligned}$

• 稳态误差 $e_{ss}$：阶跃响应曲线的实际稳态值与给定值之差
  $e_{ss}= R -C(\infty)$