B站网课——二阶系统的时域分析

2020-05-26-二阶系统时域分析

1. 二阶系统的数学模型

• 传递函数：
  
  
  
• 为了使研究结果具有普遍意义，二阶系统的传递函数写为以下标准形式：
  
• ${\omega }_n$：称为无阻尼自然振荡角频率，简称自然频率。
  $${\omega }_n=\sqrt{\frac{K}{T}}$$
• $\zeta$：称为阻尼比，或相对阻尼系统。
  $$\zeta =\frac{1}{2\sqrt{KT}}$$
  

问：极点和零点哪个更本质地影响系统的输出响应？
答：极点

问：你认为两个参数$\zeta ,{\omega }_n$，哪个可以更本质地影响系统输出？
答：$\zeta$。

2. 二阶系统地单位阶跃响应

$$s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$$
(1) 无阻尼
$$\zeta =0$$
(2) 欠阻尼
$$0<\zeta <1$$
(3) 临界阻尼
$$\zeta =1$$
(4) 过阻尼
$$\zeta >1$$
(5) 负阻尼
$$\begin{gathered} -1<\zeta <0 \\ \zeta =-1 \\ \zeta <-1 \end{gathered}$$

2.1 无阻尼

$$\begin{gathered} \zeta =0 \\ {s}_{1,2}=\pm j{\omega }_n \end{gathered}$$

问：既然无阻尼情况的特征根是两个纯虚根，请问系统的输出呈现何种形式？
答：等幅振荡。

2.2. 欠阻尼

$$\begin{gathered} 0<\zeta <1 \\ {s}_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1} \\ 变为 \\ {s}_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2} \end{gathered}$$

问：既然欠阻尼情况有两个共轭复根，且均具有负实部，请问输出呈现何种形式？
答：振荡收敛。

• 衰减速度取决于衰减系数，越大，收敛越快。
  $$\sigma =\zeta {\omega }_n$$
• 振荡频率
  $${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$$
• $\zeta$增大，${\omega }_d$减小，$\zeta {\omega }_n$增大，振荡频率减小，衰减速度变快，振荡减弱。

2.3 临界阻尼

$$\begin{gathered} \zeta =1 \\ {s}_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1} \\ 变为 \\ {s}_{1,2}=-{\omega }_n \end{gathered}$$

既然临界阻尼情况有两个负实根，请问输出呈现何种形式？
答：等幅振荡。

• 在临界阻尼情况下，系统的单位阶跃响应为：
  
• 响应导数：
  

问：请问临界阻尼中的“临界”，指的是哪两种情况的临界？
答：

• 稳定与不稳定的临界
• 振荡与不振荡的临界
• 实根与虚根的临界
• 左半平面与右半平面的临界

2.4 小结

问：思考过阻尼($\zeta >1$)情况的根具有何种形式，并选择输出呈现何种形式？
答：单调收敛，因为具有两个负实根$s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$.

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问：思考过阻尼($-1<\zeta <0$)情况的根具有何种形式，并选择输出呈现何种形式？
答：振荡发散。因为具有正实部和虚部。

3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析

问：上升时间有两种定义，一种是10%终值到90%终值的时间，一种是0到终值的时间，请问对于二阶欠阻尼系统的输出，应该用哪一种？
答：0到终值的时间。
问：误差带有两种定义，是哪两种？
答：2%和5%

3.1 上升时间$t_r$

$$\begin{gathered} t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d} \\ 阻尼振荡频率：{\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2} \\ 阻尼角：\beta =arctan(\frac{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{\zeta }) \end{gathered}$$

3.2 峰值时间$t_p$

$$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}$$

3.3 超调量$\sigma \%$

$$\sigma \%=e^{-\frac{\zeta \pi }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}}\times 100\%$$

• 超调量仅是阻尼比$\zeta$的函数，与自然频率${\omega }_n$无关。
• 超调量与阻尼比关系曲线，阻尼比越大，超调量越小。
  
• 一般，选取
  $$\begin{gathered} \zeta =0.4到0.8 \\ \sigma \%=1.5\%到25.4\% \end{gathered}$$

3.4 调节时间$t_s$

$$t_s\approx \frac{4.4}{\zeta {\omega }_n}(\Delta =0.02)$$
$$t_s\approx \frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}(\Delta =0.05)$$

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