B站网课——2.1控制系统的时域数学模型part1、2

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2.1.1 两种建立数学模型的方法

1. 分析法（机理建模）

• 机理建模：主要利用电路、机械等物理定律来建立模型。
• 适用于比较简单的模型。

2. 实验法（系统辨识）

• 对系统加输入，得输出，通过输入输出数据估算出系统的数学模型。适用于比较复杂的系统。

2.1.2 数学模型的分类

2.1.3 线性元件的微分方程

• 对于同一个系统，选择不同的输入和输出，会得到不同的数学模型。(例1(1)(2))
• 不同的物理系统，可能有相似的数学模型。（例1(1)和例3）
• 列写元件微分方程的步骤
  • 确定输入量和输出量
  • 通过物理规律得出与输入量、输出量有关的方程
  • 消去中间变量
  • 化为标准形式（输入在右边，输出在左边，按导数降序排列）

例1

• 试列写图示RL电路的运动方程。
  
• 解答：
  

例2

• 解答：
  

例3

• 解答：（本题忽略重力）
  
• $f$：阻尼系数
• $K$：弹簧弹性系数
• $F_1$：阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，其大小与运动速度成正比。
• $F_2$：弹簧弹性力。其方向与运动方向相反，其大小与位移成正比。

例4

• 直流电动机的运动受到以下4个方程约束
  
• 化简下面式子，只保留红色的变量
  
  
  
  

2.1.4 控制系统微分方程的建立

• 控制系统微分方程的建立步骤
  • 确定系统的输入量与输出量
  • 根据物理或化学定律，按系统工作的信号流向，写出每一个元件的微分方程
  • 消去中间变量
  • 化为标准形式（输入在右边，输出在左边，按导数降幂排列）
• 建立模型时要注意：各元件模型尽量简单（次要因素可以忽略）、注意信号流向的单向性（消元时请按顺序消元）

例6

• 电位器——给定元件
• 运算放大器1——比较元件
• 运算放大器2——校正元件
• 功率放大器——放大元件+执行元件
• 测速发电机——测量元件
• 负载——干扰量，广义的输入量

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• 分析：
  
  
  

2.1.5 线性系统的基本特性

• 叠加性
• 齐次性/均匀性
• 规律：方程中只含有微分、积分和原函数的，一般是线性系统；若含有平方、立方或高次方，或者含有常数的，一般是非线性系统。

2.1.6 微分方程的求解

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2.1.7 非线性微分方程的线性化

• 只能在某个点处（称为平衡点）进行线性化（在此处求导或泰勒展开舍去高次项）；有些非线性环节（饱和特性、摩擦特性等，不能通过泰勒展开或求导进行线性化）
• 如果工作点偏离了平衡点，则线性化的结果就不适用。

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