B站网课——线性系统的校正方法

2020-5-21-6.3-串联超前校正

1. 基本概念

$$G(j\omega )=G_c(j\omega )G_0(j\omega )$$

• 幅频特性叠加：
  $$L(\omega )=L_c(\omega )+L_0(\omega )$$
• 相频特性叠加：
  $$\phi (\omega )={\phi }_c(\omega )+{\phi }_0(\omega )$$
• 截止频率 ${\omega }_c$，反映系统的响应速度，但不是越大越好， ${\omega }_c$ 越大，就会有更高频的信号影响系统，系统的抗干扰能力差。
• 相角裕度 $\gamma$ ，反映系统的稳定程度和阻尼程度，相角裕度越小，系统的频率特性距离临界点 $(-1.j0)$ 越近，稳定程度越差，阻尼程度越小。相角裕度越大，稳定程度的确会越好，但阻尼程度过大，会导致系统响应速度太慢，一般取在 $45^{\circ }$ 左右。

2. 超前校正网络

2.1 结构

$$G_c(s)=\frac{aTs+1}{Ts+1},G_c(j\omega )=\frac{1+jaT\omega }{1+jT\omega }$$

• 分度系数：
  $$a=\frac{R_1+R_2}{R_2}>1$$
• 时间常数：
  $$T=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}C$$

2.2 超前网络的频率特性

• 最大超前角频率：
  $${\omega }_m=\frac{1}{T\sqrt{a}}$$
  
• 最大超前相角：
  $${\phi }_m=arcsin\frac{a-1}{a+1}$$
  • 工程中一般选取 $a\le 20$ ，当 $a=20$ 时，${\phi }_m=65^{\circ }$ 。如果工程中需要大于 $65^{\circ }$ 的超前相角，串联超前校正不适用。
    
• 最大超前角频率处的幅值：
  $$L_c({\omega }_m)=10lga$$
  

3. 超前校正的设计方法

• 重要原则：
  $${\omega }_m={\omega }_c^{{}^{\prime }}$$
  最大超前角频率 ${\omega }_m$ 与校正后系统的新截止频率 ${\omega }_c^{{}^{\prime }}$ 要相同，目的是为了将校正网络所提供的最大超前相角叠加到校正后系统中。
• 具体步骤
  • ${\phi }_m={\gamma }^{{}^{\prime }}-\gamma +\Delta (5^{\circ }\sim 15^{\circ })$，确定出需要的最大超前相角 ${\phi }_m$；
  • ${\phi }_m=arcsin\frac{a-1}{a+1}\to a$，利用公式求出分度系数；
  • $$\begin{gathered} L({\omega }_c^{{}^{\prime }})=L_c({\omega }_c^{{}^{\prime }})+L_0({\omega }_c^{{}^{\prime }})=0 \\ ⟹L({\omega }_c^{{}^{\prime }})=L_c({\omega }_m)+L_0({\omega }_c^{{}^{\prime }})=0 \\ ⟹L({\omega }_c^{{}^{\prime }})=10lga+L_0({\omega }_c^{{}^{\prime }})=0 \\ ⟹L_0({\omega }_c^{{}^{\prime }})=-10lga \end{gathered}$$由于 $a$ 已知，所以可以反推处 ${\omega }_c^{{}^{\prime }}$ ，利用${\omega }_m={\omega }_c^{{}^{\prime }}=\frac{1}{T\sqrt{a}}$，可以求出时间常数 $T$。
  • 检验结果
• 超前校正不适合在截止频率 ${\omega }_c,{\omega }_c^{{}^{\prime }}$ 之间迅速下降的系数（可以考虑之后校正）。

4. 小结