B站网课——稳定裕度

2020-05-12-5.4稳定裕度

1. 概述

• 最小相位系统：系数均为正数，零点与极点均不在右半平面的系统（在公式 $R=P-Z$ 中，$P=0$ ）。
• 对于最小相位系统，若其 Nyquist 曲线不包围 $(-1,j0)$ 点（在 $(-1,j0)$ 点的左侧没有正负穿越，$R=0$ ，又因为 $P=0$ ，所以 $Z=0$ ），则闭环系统一定稳定。
• 在稳定性分析中， $(-1,j0)$ 点是临界点，不包围 $(-1,j0)$ 点是稳定的，穿过 $(-1,j0)$ 系统是临界稳定，会等幅振荡。

---

• 相对稳定性：闭合曲线 ${\Gamma }_{GH}$ 相对于临界点 $(-1,j0)$ 的位置，即偏离临界点的程度。
• 频域的相对稳定性（即稳定裕度）：

2. 相角裕度 $\gamma$

• 设 ${\omega }_c$ 为系统的截止频率(幅值为1或0dB的频率)
  $$A({\omega }_c)=|G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)|=1⟺20lg[A({\omega }_c)]=0dB(Bode曲线中)$$

---

• 相角裕度 $\gamma$
  $$\gamma =180^{\circ }+\angle G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)$$
• 相角裕度 $\gamma$ 含义：对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再滞后 $\gamma$ 度，则系统将处于临界稳定状态。
• $\gamma >0$ 系统稳定

3. 幅值裕度 $h$

• 穿越频率 ${\omega }_x$ （相角为$(2k+1)\pi$的频率）
  $$\phi ({\omega }_x)=\angle G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)=(2k+1)\pi$$
• 幅值裕度
  $$H=\frac{1}{|G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)|}(Nyquist曲线中，是一个倍数)$$
  $$h=20lgH=20lg\frac{1}{|G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)|}=-20lg|G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)|(Bode曲线中，是一个差值，单位是dB)$$
• $H>1,h>0$时系统稳定。

4. 例题

下一篇：系统的设计与校正问题