B站网课——静态误差系数法

2020-5-28-3.6节静态误差系数法

0. 概述

• 稳态性能：控制系统的另一个重要特性。
• 稳态性能的评价：根据系统在阶跃、斜坡、加速度等输入信号作用下引起的静态误差来评价。
• 稳态误差：控制系统控制准确度（即控制精度）的一种度量。

1. 误差和稳态误差

• 开环传递函数：前向通路传递函数乘以反馈通路传递函数。一般用$G_k(s)$表示。

1.1 误差和稳态误差

1.1.1 误差的两种定义

1. 从输出端定义

• 系统误差：被控量（输出量）希望值$c_r(t)$与其实际值$c(t)$之差
  $$e^{{}^{\prime }}=c_r(t)-c(t)$$
  

• 缺点：实际系统中有时无法测量，一般只有数学意义。

2. 从输入端定义

• 系统误差：系统的输入$r(t)$与系统主反馈信号$b(t)$之差。
  
• 优点：在实际系统中可以测量，具有一定的物理意义。
• 缺点：有时不复合工程上的提法和要求。

1.1.2 误差的两种定义之间的关系

• 当系统为单位反馈时：$E^{{}^{\prime }}(s)=E(s)$.
• 非单位反馈则有：$E^{{}^{\prime }}(s)=\frac{1}{H(s)}E(s)$或$E(s)=H(s)E^{{}^{\prime }}(s)$.
• 以后均采用输入端定义的误差来讨论。

问：采用输入端定义的误差来分析系统准确性，请问某一时刻的误差大是否就能说明控制系统控制的不准确。
答：不能说明。

1.1.3 稳态误差的定义

$$e_{ss}(t)=$$

2. 稳态误差的计算

2.1 根据定义计算

问：定义发求稳态误差并不适用，主要原因是？
答：拉式反变换求$e(t)$的计算量太大。

2.2 根据终值定理计算

• 拉普拉斯变换的终值定理：
  
• 稳态误差的计算公式：
  
• 将开环传递函数写成典型环节的形式，如下：
  
  其中，
  
  $$\begin{gathered} K：开环增益 \\ \nu ：积分环节的个数 \end{gathered}$$
  

例题（开环传递函数）

• 例1
  

---

• 例2
  

---

• 例3
  

---

• 因此，系统稳态误差与输入信号$R(s)$、开环增益$K$和积分环节数目$\nu$有关。

问：你认为输入信号$R(s)$、开环增益$K$和积分环节数目$\nu$哪个更能本质地影响系统的稳态误差？
答：积分环节数目$\nu$。

2.3 静态误差系数法

2.3.0 系统的型的概念

• 根据系统开环传递函数中积分环节数目$\nu$把系统分为：
  • $\nu =0$时，为0型系统；
  • $\nu =1$时，为I型系统；
  • $\nu =2$时，为II型系统。

2.3.1 阶跃输入

• 当系统输入为阶跃信号$A\cdot 1(t)$时，即$R(s)=\frac{A}{s}$时，稳态误差（终值）$e(\infty )$为：
  $$\begin{gathered} e(\infty )=li{m}_{s\to 0}s\frac{1}{1+G(s)H(s)}R(s) \\ =\frac{A}{1+li{m}_{s\to 0}\frac{K}{s^{\nu }}} \end{gathered}$$
  静态位置误差系数定义：$K_p=li{m}_{s\to 0}G(s)H(s)=li{m}_{s\to 0}\frac{K}{s^{\nu }}$。
• 则稳态误差为
  $$e(\infty )=\frac{A}{1+K_p}$$

2.3.2 斜坡信号

• 当系统输入为斜坡信号$A\cdot t$时，即$R(s)=\frac{A}{s^2}$时，稳态误差(终值)为
  $$\begin{gathered} e(\infty )=\frac{A}{li{m}_{s\to 0}sG(s)H(s)} \\ =\frac{A}{li{m}_{s\to 0}\frac{K}{s^{\nu -1}}} \end{gathered}$$
• 静态速度误差系数定义：$K_v=li{m}_{s\to 0}sG(s)H(s)=li{m}_{s\to 0}\frac{K}{s^{\nu -1}}$。
• 则稳态误差为
  $$e(\infty )=\frac{A}{K_v}$$

2.3.3 加速度输入

• 输入加速度信号：
  $$\begin{gathered} r(t)=\frac{1}{2}A{t}^2 \\ R(s)=\frac{A}{s^3} \end{gathered}$$
• 稳态误差为：
  $$\begin{gathered} e(\infty )=\frac{A}{li{m}_{s\to 0}{s}^{2}G(s)H(s)} \\ =\frac{A}{li{m}_{s\to 0}\frac{K}{s^{\nu -2}}} \end{gathered}$$
• 静态加速度误差系数定义：$K_a=li{m}_{s\to 0}sG(s)H(s)=li{m}_{s\to 0}\frac{K}{s^{\nu -2}}$
• 则稳态误差为：
  $$e(\infty )=\frac{A}{K_a}$$

2.3.4 静态误差系数法总结

• 误差系数的扩展
• 误差结果的扩展
• 工程实践的指导意义
  • 无静差跟踪
    • 至少有1个积分环节才能对阶跃信号（0阶信号）实现无静差跟踪；
    • 至少有2个积分环节才能对斜坡信号（1阶信号）实现无静差跟踪；
    • 至少有3个积分环节才能对加速度信号（2阶信号）实现无静差跟踪；
    • ……
    • 至少有$n+1$个积分环节才能对加（$n$阶信号）实现无静差跟踪。

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