B站网课——奈氏稳定判据

2020-4-28-5.3奈氏稳定判据

1. 奈氏判据的数学基础

1.1 幅角原理

  设$s$为复数变量，$F(s)$为$s$的有理分式。对于$s$平面上任意一点，通过$F(s)$的映射关系，在$F(s)$平面上必可确定关于$s$的象。
  在$s$平面上任选一条闭合曲线 $\Gamma$ ，且不通过 $F(s)$ 的任一零、极点。当 $s$ 从闭合曲线 $\Gamma$ 上任一点 $A$ 顺时针沿曲线 $\Gamma$ 运动一周后，相应地 $F(s)$ 在 $F(s)$ 平面上也从 $F(A)$ 点到 $F(A)$ 点形成一条闭合曲线 ${\Gamma }_F$ 。

问题：当$s$从闭合曲线$\Gamma$上任一点$A$顺时针沿曲线$\Gamma$运动一周后，$F(s)$的相角变化了多少？

• 相乘相角相加，相除相角相减。
• $\angle (s-z_1)$为$z_1$指向$s$的向量与$X$轴的正方向之间的夹角（逆时针为正，顺时针为负）。
• 结论：
  • 当$s$沿$s$平面一闭合曲线顺时针选转一周时，$F(s)$的相角与闭合曲线之外的零、极点无关；
  • 当$s$沿$s$平面一闭合曲线顺时针选转一周时，每个被闭合曲线包围的零点，使$F(s)$相角变化$-2\pi$，相当于绕原点顺时针包围一圈；
  • 当$s$沿$s$平面一闭合曲线顺时针选转一周时，每个闭合曲线包围的极点，使$F(s)$的相角变化$+2\pi$，相当于绕逆时针包围一圈。
• 幅角原理：$R=P-Z$
  • 关于$R$：$F(s)$逆时针绕原点的圈数；
  • 关于$P$：$F(s)$在$s$平面一闭合曲线内的极点数（被包围的极点数）（开环极点）
  • 关于$Z$：$F(s)$在$s$平面一闭合曲线内的零点数（被包围的零点数）（闭环极点）

1.2 复变函数$F(s)$的选择

• 结论：$F(s)$选择成：$1+G(s)H(s)$
• 优点：
  • $F(s)=1+G(s)H(s)$的极点是开环系统$G(s)H(s)$的极点（开环的信息是已知的）；
  • $F(s)=1+G(s)H(s)$的零点是闭环系统$\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$的极点（右半平面个数为0时系统稳定）。
• 由于$F(s)=1+G(s)H(s)$，所以$F(s)$曲线相当于$G(s)H(s)$曲线向右平移一个单位长度，因此$F(s)$绕原点逆时针旋转的圈数$R$就等于$G(s)H(s)$曲线绕$(-1,j0)$逆时针旋转的圈数。

1.3 s平面闭合曲线$\Gamma$的选择

• 选择成整个右半平面。

1.4 开环传递函数$G(s)H(s)$闭合曲线的绘制

1. 当$G(s)H(s)$在虚轴上无极点时，${\Gamma }_{GH}$就是 Nyquist 曲线；
2. 当$G(s)H(s)$在虚轴上有极点时，从 Nyqusit 曲线起点处反推一个半径无穷大，相角为$\nu \times 90^{\circ }$的圆弧（标箭头方向是按顺时针标注）。

1.5 闭合曲线 ${\Gamma }_F$ 包围原点圈数 $R$ 的计算

$$R=2(N_{+}-N_{-})$$

• 其中：2倍是由于我们只绘制了 $G(s)H(s)$ 曲线 ${\Gamma }_{GH}$ 的一半（自变量 $s$ 是实轴上半部分所对应的 ${\Gamma }_{GH}$
• 计算$N_{+}$和$N_{-}$时，只能计算$(-1,j0)$ 点左侧的穿越次数（右侧的穿越不能算成包围）
• $N_{+}$是正穿越（相角增加的穿越），$N_{-}$是负穿越（相角减少的穿越）。

2. 奈奎斯特稳定判据

• 若 ${\Gamma }_{GH}$ 曲线逆时针包围 $(-1,j0)$ 的圈数 $R=P$ ，根据幅角原理 $R=2(N_{+}-N_{-})$ ，可得出 $Z=0$，系统稳定。

3. 对数频率稳定判据

奈奎斯特稳定判据推广到Bode曲线。

• Nyquist 曲线中，在 $(-1,j0)$ 左侧的穿越点，相当于在 Bode 曲线中幅值大于 $0dB$ ，相角为 $(2k+1)\pi$ 的点。

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