带你一次搞懂点积（内积）、叉积（外积）

1. 基本概念

设两向量 $\vec{a}=\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}, {{z}_{1}} \right)~\vec{b}=\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} ,{{z}_{2}}\right)$，夹角为 $\theta$

（1）数量积

numpy中 使用np.dot

数量积又称内积（Kronecker product）、点积（Dot product），对应元素相乘相加，结果是一个标量（即一个数）。

$\vec{a}\cdot \vec{b}= {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}$有时也写成 $a\otimes b$

几何意义是 $\vec{a}$在 $\vec{b}$上的投影： $\vec{a}\cdot \vec{b}=\left| {\vec{a}} \right|*\left| {\vec{b}} \right|*cos\theta$

对于矩阵，假设 $A$为 $m \times s$阶矩阵， $B$为 $s \times n$阶矩阵（A的列数与B的行数相等），那么 $C=AB$（有时写成）是 $m\times n$阶矩阵，且矩阵 $C$中的元素满足
${{c}_{ij}}=\sum_{k=1}^{s}{{a}_{ik}}{{b}_{kj}}$

$A=\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1s}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2s}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & \cdots & {{a}_{ms}} \\ \end{matrix} \right]~~~B=\left[ \begin{matrix} {{b}_{11}} & {{b}_{12}} & \cdots & {{b}_{1n}} \\ {{b}_{21}} & {{b}_{22}} & \cdots & {{b}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{b}_{s1}} & {{b}_{s2}} & \cdots & {{b}_{sn}} \\ \end{matrix} \right]~~~C=AB=\left[ \begin{matrix} {{c}_{11}} & {{c}_{12}} & \cdots & {{c}_{1n}} \\ {{c}_{21}} & {{c}_{22}} & \cdots & {{c}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{c}_{m1}} & {{c}_{m2}} & \cdots & {{c}_{mn}} \\ \end{matrix} \right]$

（2）向量积

numpy中 使用np.cross

向量积又称外积、叉积（Cross product），结果 $\vec{a}$和 $\vec{b}$的法向量，该向量垂直于 $\vec{a}$和 $\vec{b}$构成的平面。

$\vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix}i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} = (y_1z_2-y_2z_1)\vec{i} - (x_1z_2-x_2z_1)\vec{j}+(x_1y_2-x_2y_1)\vec{k}$ $|\vec{a} \times \vec{b}| =\left| {\vec{a}} \right|*\left| {\vec{b}} \right|*sin\theta$

（3）普通乘积

numpy中 使用np.multiply或*

普通乘积：对应元素相乘，结果还是向量。 $\vec{a} * \vec{b}= \{{{x}_{1}{x}_{2}},{{y}_{1}}{{y}_{2}},{{z}_{1}}{{z}_{2}} \}$
有时写成 $A\odot B$

2. 举例

$X_1 = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}\;\;\;\; Y_1 = \begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8\end{bmatrix}， \;\;\;\; X_2 = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{bmatrix}\;\;\;\; Y_2 = \begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix} \;\;\;\;$

（1）数量积：
$X_1Y_1 = \begin{bmatrix}19 & 22 \\43 & 50\end{bmatrix}， \;\;\;\; X_2Y_2 = \begin{bmatrix}14&14\end{bmatrix}$
（2）向量积：
$X_1 \times Y_1 = \begin{bmatrix}-4 & -4 \end{bmatrix}， \;\;\;\; X_2 \times Y_2 = \begin{bmatrix}0&0&0 \\0&0&0 \end{bmatrix}$
（3）普通乘积：
$X_1*Y_1 = \begin{bmatrix}5 & 12 \\21 & 32\end{bmatrix}， \;\;\;\; X_2*Y_2 = \begin{bmatrix}1&4&9 \\1&4&9 \end{bmatrix}$

3. Numpy实现

import numpy as np 
X1 = np.array([[1,2],[3,4]])
Y1 = np.array([[5,6],[7,8]])
X2 = np.array([[1,2,3],[1,2,3]])
Y2 = np.array([1,2,3])
## 数量积  使用np.dot
print(np.dot(X1,Y1))
print(np.dot(X2,Y2))
## 向量积  使用np.cross
print(np.cross(X1,Y1))
print(np.cross(X2,Y2))
## 普通乘积  使用np.multiply
print(np.multiply(X1,Y1)) #或者直接使用X1*Y1
print(np.multiply(X2,Y2)) #或者直接使用X2*Y2