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高等向量数学(advanced vector math)
平面(plane)
点乘和单位向量还有一个有趣的性质。试想一下，与某单位向量垂直且穿过原点的一个平面。该平面可以将整个空间划分为正向(平面以上)和负向(平面以下)两个部分，(与普遍看法相反)你也可以在2D中使用它们的数学公式:
垂直于面的单位向量(它们可以描述一个面的方向)被称为单位法向量(unit normal vector)。 尽管它们经常被简称为法线(normal)。法线会出现在平面以及3D几何(确定每个面或者顶点的朝向)等。法线是一个单位向量，但是由于它的用途，它被称为法线。(就像我们管(0,0)叫原点一样!)。
和看起来一样的简单。一个平面穿过原点并且它的面垂直于单位向量(或者叫法线)。在法向量方向一边的是正半空间，则另一边就是负半空间。在3D中也是完全一样的，只不过这时平面是一个无限的面(试想一个无限的平坦的纸，你可以控制它的朝向，并把它固定在原点)而不是一条线。
到平面的距离
现在我们已经清楚什么是平面了，那么再回到点乘的话题来。一个单位向量和空间中任意一点的点乘(是的，这次我们用向量和位置进行点乘)，返回这个点到这个(法线所代表的)平面间的距离。
var distance = normal.dot(point)
但不只是距离的绝对值(译者注:这个距离可正可负)，如果这个点在负半空间，这个距离也是负的:
这使我们可以判断点在平面的哪一边。
远离原点
我知道你正在琢磨！到目前为止进展顺利，但是真正的平面会在空间的任何位置，而不一定要穿过原点。你想要看真正的平面并且马上就想看。
记住，平面不仅仅是把平面一分为二，它们是有极性的。这意味着可能会存在完美重合的平面，但它们的正负半空间是相反的。
带着这个概念，让我们用一个法线N和一个到原点的标量D来表示一个平面。因此我们的平面可以表示为N和D，例如：
在3D中，Godot提供了一个Plane的内置类型可以处理这件事。
本质上，N和D可以表示空间中的任何平面，无论是2D还是3D(这依赖于N的维度)并且数学公式也是相同的。和以前一样，只不过D是从原点沿着N方向到平面的距离。举个例子，如果你想到达平面上的一个点，你只要这样做:
var point_in_plane = N*D
这将伸展(改变大小)一个法向量让它碰到这个平面。这个数学公式看起来有点迷糊，但它实际上比看起来简单。如果你想再次获得这个点到这个平面的距离，我们也可以这样做只是稍微调整一下:
var distance = N.dot(point) - D
同样，我们也可以使用内置函数:
var distance = plane.distance_to(point)
再次提醒，这个函数的返回值可能是正的也可能是负的。
可以通过对N和D同时取负来翻转一个平面极性。这样平面的位置不会变化，但是它的正负半空间会互换:
N = -N
D = -D
当然，Godot在Plane类中已经实现了这个运算符:
var inverted_plane = -plane
以上代码会如我们预期工作。
所以，请记住这就是平面，它的主要实际用途就是计算到它的距离。所以计算一个点到平面的距离非常有用？是的，它非常非常有用！让我们看一些简单的例子。
在2D中构造一个平面
译者注:这个部分是在2D中构造一个平面，也就是说所有平面都是和
z轴平行的。
平面肯定不会凭空而出，它们必须被创建。在2D中创建平面非常简单，可以用一个法线和一个点，也可以用空间中的两个点.
如果用法线和点的话，大多数工作实际上已经完成了，因为法线已经计算好了，所以只需要用法线和点的点乘计算D就可以了。
var N = normal
var D = normal.dot(point)
对于空间中的两个点，实际上有两个平面穿过它们，这两个平面共享着空间但是法线的指向是相反的。要计算
两个点的法线必须先求出方向向量，然后旋转90°到另一个边:
# calculate vector from a to b
var dvec = (point_b - point_a).normalized()
# rotate 90 degrees
var normal = Vector2(dvec.y, -dvec.x)
# or alternatively
# var normal = Vector2(-dvec.y, dvec.x)
# depending the desired side of the normal
译者注: 向量(x,y)和(y,-x)以及(-y,x)都是垂直的
证明：(x,y)·(y,-x) = xy+y(-x)=xy-xy=0
剩下的步骤就和之前的例子相同了，用point_a和point_b都可以，因为它们在同一个平面上:
var N = normal
var D = normal.dot(point_a)
# this works the same
# var D = normal.dot(point_b)
在3D中是同理的，但是要稍复杂一些，我们会在稍后解释。