最小生成树
在图论中，无向图 G 的生成树（英语：Spanning Tree）是具有 G 的全部顶点，但边数最少的连通子图。[1]
一个图的生成树可能有多个。
带权图的生成树中，总权重最小的称为最小生成树。
它在实际中有什么应用呢？比如说有N个城市需要建立互联的通信网路，如何使得需要铺设的通信电缆的总长度最小呢？这就需要用到最小生成树的思想了。
求取最小生成树的算法：
Prim算法原理：
1）以某一个点开始，寻找当前该点可以访问的所有的边；
2）在已经寻找的边中发现最小边，这个边必须有一个点还没有访问过，将还没有访问的点加入我们的集合，记录添加的边；
3）寻找当前集合可以访问的所有边，重复2的过程，直到没有新的点可以加入；
4）此时由所有边构成的树即为最小生成树。
参考链接：https://wiki.jikexueyuan.com/project/step-by-step-learning-algorithm/prim-algorithm1.html
Kruskal算法原理：
现在我们假设一个图有m个节点，n条边。首先，我们需要把m个节点看成m个独立的生成树，并且把n条边按照从小到大的数据进行排列。在n条边中，我们依次取出其中的每一条边，如果发现边的两个节点分别位于两棵树上，那么把两棵树合并成为一颗树；如果树的两个节点位于同一棵树上，那么忽略这条边，继续运行。等到所有的边都遍历结束之后，如果所有的生成树可以合并成一条生成树，那么它就是我们需要寻找的最小生成树，反之则没有最小生成树。
参考链接：https://wiki.jikexueyuan.com/project/step-by-step-learning-algorithm/kruskal-algorithm.html
两算法对比
总的来说，Prim算法是以点为对象，挑选与点相连的最短边来构成最小生成树。而Kruskal算法是以边为对象，不断地加入新的不构成环路的最短边来构成最小生成树。
最短路径树
最短路径就是从一个指定的顶点出发，计算从该顶点出发到其他所有顶点的最短路径。常见的最短路径算法有三种：dijkstra，floyd，Bellman-Ford和SPFA。
最短路径树SPT（Short Path Tree）是网络的源点到所有结点的最短路径构成的树。
如果说边权中有负数怎么定义呢？如果有负边，就要分两种情况了。
第一种情况：如果从某点出发，可以到达一个权值和为负数的环，那么这个点到其它点的最短距离就是负无穷了，很明显，如果有负环，且从某点可以到达这个负环，那么我可以无限得走这个负环，每走一次，距离就小一些，这种情况下，我们可以定义这个点到达其它点的最短距离为负无穷。
第二种情况：如果说不存在一个这样的负环，那么就和没有负权边一样了，但是还不是完全一样，接下来我们介绍的四种算法中，有的是可以处理负权边不能处理负环的，有的是可以处理负环的，有的是既不能处理负权边也不能处理负环的。
Dijkstra
- 不能适用于负权图
- 只适用于单源最短路问题
如果权重是负数，那就直接pass这个算法，在这里原因不表。
单源最短路径就是指只有一个出发点，到其它点的最短路径问题。
算法流程：
- S1. 设置dis数组，dis[i]表示起点start到i的距离。
- S2. 从点集V中弹出一个dis值最小且未以该点为起点进行松弛操作的点。
- S3. 从该点松弛与其领接的各个点更新dis数组，返回S2，循环进行。
- 通过优先队列的操作可以优化S2，之后详细说明。
举个例子。这个例子也是洛谷的单源最短路径的模板题，请求出1到各点的最短路？
很显然你用肉眼看，1到本身是0,1到2、3、4的最短路分别为2,4,3。那dijkstra的操作流程是什么呢？
首先我们先开一个dis数组，让数组的值足够大，dis[i]=0x7fffffff,从1开始出发，令dis[1]=0，发现与1相连的有三个点234，那我们一个个进行松弛操作，比较if (dis[1]+w[i]<dis[i]),w表示各边的权重，如果小于，那就让其覆盖本身的dis值，即dis[i]=dis[1]+w[i]，这一波更新完后，234的值分别为2,5,4。
然后，我们需要让234全部入队，并选取dis值最小的数即2继续进行松弛操作，发现连接的是3和4，继续更新，这波结束，234的值分别为2,4,3。
接着，是上一轮dis值次小的点4，进行操作，但是4没有出的边，所以不进行操作。
最后就是剩下的一个3了，3和4还有一条权边，但是4最小的dis值依旧是3。
下面我们发现算法到这就截止了，为什么呢，因为S2的一句话，未进行松弛的点，早在第一轮234就已经全部进入过队列并且已经弹出过了，所以之后他们也不会再进入队列，我们可以设置一个bool类型的vis[i]数组代表第i个点是否被访问过了，如果访问过了就结束此循环，或者直接不push进入队列。
这就是整个dijkstra的算法。
总结：
Dijkstra算法是一种优秀的经典的最短路算法，在优先队列的优化下，它的时间复杂度也是可接受的，它在计算机网络等应用中广泛存在，然而他也有他的局限性，它的局限性甚至比Floyd算法都要大，Floyd算法允许有负权边，不允许有负权环，Dijkstra算法连负权边都不允许，因为Dijkstra的正确性基于以下假设：当前未找到最短路的点中，距离源点最短的那个点，无法继续被松弛，这时候他肯定是已经松弛到最短状态了。但是这个假设在有负权边的时候就不成立了，举一个经典例子：一个具有三个点三条边的图，0->1距离为2,0->2距离为3，2->1距离为-2，根据Dijkstra算法，我们第一次肯定会将节点1加入到已经松弛好的点集中，但是这时候是不对的，2并不是0->1最短的路径，而通过点2松弛过的路径：0->2->1才是最短的路径，因为负权边的存在，我们认为的已经被松弛好的点，在未来还有被松弛的可能。这个就是Dijkstra的局限性，然而这并不影响它的伟大，因为在实际应用中，没有负权的图是更为常见的。但是我们仍然需要可以处理负权，甚至负环的算法，这时候Bellman-Ford算法和SPFA算法就派上用场了。
Floyd
弗洛伊德算法是一种基于动态规划的多源最短路算法。
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