【高等数学】函数与极限

本文为高等数学学习总结，讲解函数与极限。欢迎交流

映射与函数

函数的概念

函数通常简记为：$y=f(x),x\in D$，其中 $D$ 称为定义域，记作 $D_f$。值域记作 $R_f$ 或 $f(D)$

不超过 $x$ 的最大整数称为 $x$ 的整数部分，记作 $[x]$。注意：$[-3.5]=-4$

函数的特性

1. 有界性

   • 若 $f(x)\le K_1$，则 $f(x)$ 有上界；若 $f(x)\ge K_2$，则 $f(x)$ 有下界。且上下界不唯一
   • 有界：$\exists M>0$，使得 $|f(x)|\le M$。函数有界 $\iff$ 函数有上界也有下界
   • 无界：$\forall M>0,\exists x_1\in X$，使得 $|f(x_1)|>M$

2. 奇偶性

   • 定义域关于原点对称。

3. 周期性

   • 周期函数：$\exists l>0$，使得 $f(x+l)=f(x)$

   • 通常说的周期就是最小周期，但并非每个函数都有最小周期：

反函数与复合函数

反函数

• 若 $f$ 单调，则 $f$ 单射，从而 $f$ 必有反函数，且 $f^{-1}$ 也单调
• 函数与反函数增减性相同
• 关于 $y=x$ 对称

复合函数：$t=f[g(x)]$

• 要满足 $R_g\subset D_f$

函数的运算

$f(x),g(x)$ 满足 $D=D_f\cap D_g\ne \Phi$

例 11 任意的函数可以表示为偶函数与奇函数的和。

证：假设存在，做奇偶变换解出 $g(x),h(x)$，再验证 $g(x),h(x)$ 的奇偶性

初等函数

基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数

初等函数：基本初等函数做有限次四则运算或函数复合

三角函数

• 正割函数 $\sec x=\frac{1}{\sin x}$

• 余割函数 $\csc x=\frac{1}{\cos x}$

二倍角公式

$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$

$$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$$

$$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$$

半角公式

$$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$$

$$\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$$

$$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$$

三角函数值的正负由 $\frac{\alpha }{2}$ 所在象限决定。

和差化积（记忆口诀）

正和正在先：$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

正差正后迁：$\sin \alpha -\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

余和一色余：$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

余差翻了天：$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

反三角函数

数列的极限

数列

序列 $x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$ 叫做数列，简记为数列 { x n } \{x_n\} { xn​}，$x_n$ 为数列的一般项（或通项）

数列极限的定义

对于任意小的距离，总存在某项，其后面的所有项都落在小区域 $|x_n-a|<ϵ$ 内。$a$ 为数列的极限或数列收敛于 $a$（做题几乎不用这个定义）

函数极限

无穷大与无穷小

无穷小

如果函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时的极限为 0，则称函数 $f(x)$ 为 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时的无穷小。

自变量统一变化过程 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）中，函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充要条件是 $f(x)=A+\alpha$，其中 $\alpha$ 为无穷小。

无穷大

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义（或 $|x|$ 大于某一正数时有定义）。如果 $\forall M>0$（无论多么大），$\exists \delta >0$（或 $X>0$），适合不等式 $0<|x-x_0|<\delta$（或 $|x|>X$），对应函数值满足：$|f(x)|>M$，则称其是 $x\to x_0$（或 $x\to \infty$）时的无穷大。极限不存在。

自变量同一变化过程中，如果 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小，反之同理。

极限运算法则

定理

• 有限个无穷小的和是无穷小

• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

  • 常数与无穷小的乘积是无穷小
  • 有限个无穷小的乘积是无穷小

• 两函数加减乘除的极限=两极限的加减乘除

• 如果 $f(x)\ge g(x)$，则 $\lim f(x)\ge \lim g(x)$

极限存在准则

夹逼准则

• 对于数列 { x n } , { y n } , { z n } \{x_n\},\{y_n\},\{z_n\} { xn​},{ yn​},{ zn​}，若从某项起 $y_n\le x_n\le z_n$，且 $\lim y_n=\lim z_n=a$，则 $\lim x_n=a$

• 函数极限同理，将无穷换为领域。

单调有界定理

• 单调有界数列必有极限
• 函数在领域单调有界，则在领域有极限。

柯西极限存在准则（柯西审敛定理）

数列 { x n } \{x_n\} { xn​} 收敛的充要条件是：$\forall ϵ>0,\exists N>0$，使得当 $m>N,n>N$ 时，有 $|x_n-x_m|<ϵ$。

无穷小的比较

定义

• 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小，记作 $\beta =o(\alpha )$

• 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的低阶无穷小

• 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的同阶无穷小

• 如果 $\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\ne 0,k>0$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小

• 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$，则 $\beta$ 是 $\alpha$ 的等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$

定理

• $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小的充要条件是 $\beta =\alpha +o(\alpha )$

• 求两个无穷小之比的极限时，分子分母的因子可用等价无穷小替换

函数的连续性与间断点

函数的连续性

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一领域内有定义，若：
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$$
或：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$
称函数在点 $x_0$ 连续。

如果区间包含端点，函数在左端点右连续，在右端点左连续。

函数的间断点

间断点的三种情形

• 该点没有定义
• 该点极限不存在
• 该点极限不等于函数值

间断点类型

连续函数的运算与初等函数的连续性

• 函数在点 $x_0$ 连续，其和差积商都在点 $x_0$ 连续。

• 函数在区间上单调且连续，则其反函数单调且连续，单调性相同。反三角函数在定义域内都是连续的

• 复合函数的连续性可以传递

• 初等函数在定义域内连续

闭区间上连续函数的性质

有界性和最值定理

闭区间上的连续函数一定有界且能取得最大最小值。

零点定理与介值定理

零点定理：函数在闭区间左右端点异号，则开区间必存在零点

介值定理：函数在闭区间 $[a,b]$ 上连续，$f(a)=A,f(b)=B$，则 $\forall C$ 在 $A,B$ 之间，开区间至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi)=C。

一致连续性

函数在区间有定义，$\forall ϵ>0,\exists \delta >0$，使得区间上任意两点 $x_1,x2$，在 $|x_1-x_2|<\delta$ 时有：
$$|f(x_1)-f(x_2)|<ϵ$$
称函数在区间上一致连续。

一致连续性定理：函数在闭区间连续，则一致连续。

得 $f(\xi )=C$。

一致连续性

函数在区间有定义，$\forall ϵ>0,\exists \delta >0$，使得区间上任意两点 $x_1,x2$，在 $|x_1-x_2|<\delta$ 时有：
$$|f(x_1)-f(x_2)|<ϵ$$
称函数在区间上一致连续。

一致连续性定理：函数在闭区间连续，则一致连续。