第一小节 映射与函数
本章目录
1. 映射
2. 函数
映射
映射：两个非空集合X、Y，如果存在法则f使得X中的每个元素x在Y中都有唯一一个确定的元素y，则称法则f是从X到Y的映射
像：y称为x的像
原像：x称为y的原像
定义域：X集合称为定义域
值域：Y集合称为值域
构成一个映射必须具备的三个要素：定义域、值域、法则f
满射：Y中的任意一个元素y都是X中的某个元素的像
单射：对于X中任意两个元素x1不等于x2，则有f(x1)不等于f(x2)
一一映射：既是单射也是满射
逆映射：首先映射f必须是单映射，y=f(x)必定存在x=g(y)，法则g是法则f的逆映射
复合映射：多个映射复合，例如y=f(g(x))
函数
函数：设数集D包含与R，则称映射f：D->R是定义在D上的函数，记为y=f(x)，x是自变量，y是因变量，D是定义域，y的取值范围是值域
函数可分为连续函数与分段函数
函数的几种特性：
1. 函数的有界性：在定义域D中如果任意x都使得f(x)<=K,则函数有上界，K是函数的一个上界，如果任意x使得f(x) <= N，则函数有下届，N是函数的一个下届
2. 函数的单调性：在定义域的一个区间中，单调递增或单调递减
3. 函数的奇偶性：f(-x) = f(x)为偶函数，f(-x) = -f(x) 为奇函数
4. 函数的周期性：在函数定义域D中，如果存在 l 使得 f(x+l) = f(x) 则函数是周期函数，l是函数f(x)的周期
反函数：D->f(D)是单射，则存在逆映射f^-1：f(D) -> D,则称该逆映射是f的反函数
复合函数：多个函数复合例如y=f[g(x)]
函数运算：
1. 和差：（f+-g)(x) = f(x)+-g(x)
2. 积：(f * g)(x) = f(x) * g(x)
3. 商：(f/g)(x) = f(x) / g(x)\
初等函数：
第二小节 数列的极限
数列的定义：按照某一个法则，对于每一个n包含与N+，对应着一个确定的实数xn,这些实数按照下标从小到大排列构成一个序列
数列中的每一个叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项
定义 设{xn}为一个数列，如果存在常数a，对于任意给定的ε（不论它多么小），总存在正整数N，是得当n>N时，不等式 |xn-a| < ε成立，则称常数a时数列{xn}的极限，或该数列收敛于a。
收敛数列的性质：
定理1（极限的唯一性）：如果数列{xn}收敛，那么它的极限唯一
定理2（收敛数列的有界性）：如果数列{xn}收敛，那么这个数列一定有界
定理3（收敛数列的保号性）：如果数列收敛于a，且a>0(或a<0)，那么存在正整数N，当n>N时，都有xn>0（或xn<0）
定理4（收敛数列与其子数列间的关系）：如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。