函数关系就是变量之间的依赖关系。
极限方法是研究变量的一种基本方法。
映射是现代数学中的一个基本概念，函数是映射的一种特例。
函数是微积分的研究对象。
这里将要介绍映射与函数、数列的极限及其性质、函数的极限及其性质、无穷大与无穷小、极限运算法则、极限存在准则与两个重要极限、无穷小的比较、函数的连续性和间断点、连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
1.映射与函数
映射的定义：这里不再赘述
满射、单射和一一映射（双射）的定义，这里也不再赘述。
映射在不同的数学分支中有不同的惯用名称，从非空集X到数集Y的映射称为X上的泛函，从非空集X到它自身的映射称为X上的变换，从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数。
逆映射和复合映射的定义，这里不再赘述
函数的定义：这里不再赘述
函数是从实数集（或子集）到实数集的映射，其值域总在实数集内，因此构成函数的要素是：定义域和对应法则
函数的定义域有两种情况来确定：使得实际问题有意义的自变量范围和使得函数式本身有意义的自变量范围
函数的三种表示方法：表格法、图形法、解析法（公式法）
函数对应的坐标平面上的点集称为函数的图形
函数的四种特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性
通常我们所说的周期函数的周期指的都是最小正周期。并非每个周期函数都有最小正周期
反函数与复合函数（与逆映射和复合映射相对应）：定义不再赘述
直接函数（原函数）与反函数的图形是关于y=x直线对称的
注意复合映射和复合函数的顺序性。为了满足复合要求，有时需要对最内侧的函数的定义域进行限制
函数的运算：和、差、积、商。需要注意使得运算式子成立的自变量的范围是如何确定的
可以认为反函数和复合函数也是一种函数运算
基本初等函数：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数
初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数（其中不包括反函数运算步骤）
2.数列的极限及其性质
数列极限的定义：这里不再赘述
定义中的正整数N是与任意给定的正数（E）有关，N随着该正数的给定而选定
利用数列极限的定义来证明某个数是数列的极限时，重要的是对任意给定的正数（E），要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在。
定理1：如果数列收敛，那么它的极限唯一
定理2：如果数列收敛，那么数列一定有界
定理3：保号性
定理4：收敛数列与其子数列间的关系
数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件
不收敛，就发散
3.函数的极限及其性质
在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。这个极限与自变量的变化过程密切相关。
注意邻域和去心邻域的定义：都是开区间
自变量趋于有限值时函数的极限：
首先假设函数在该有限值的去心邻域内是有定义的
由于自变量只是趋近于该值（并不相等，定义中就是这么说的），所以函数在趋向于该值的时候是否有极限，与函数在该值处是否有定义并无关系
左极限和右极限：不再赘述
函数在自变量趋向某个值时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在并且相等
自变量趋于无穷大时函数的极限：
与数列的极限类似
定理1：如何函数极限存在，那么这极限唯一
定理2：函数极限的局部有界性
定理3：函数极限的局部保号性
定理3’：定理3的强化
推论
定理4：函数极限与数列极限的关系
4.无穷大与无穷小
无穷小的定义：不再赘述
零可以作为无穷小的唯一的常数
定理1：不再赘述
无穷大的定义：不再赘述
其实在自变量的某一变化过程中，趋于无穷大的函数的极限是不存在的，但是为了方便叙述函数这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”
定理2：不再赘述
5.极限运算法则
极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则
定理1：两个无穷小的和是无穷小
有限个无穷小的和也是无穷小
定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小
推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小
定理3：不再赘述
推论1：不再赘述
推论2：不再赘述
定理4：与定理2类似，只是其应用于数列
定理5：不再赘述
求有理整函数（多项式）或有理分式函数当自变量趋向于某个值时的极限时，只要用该值代替函数式中的自变量即可（对于有理分式函数，需假定这样代入后分母不等于零）
对于上面说到的例外情况，因为自变量趋于该值却不等于该值，所以可以约去在自变量趋向过程中的不为零的公因子（前提是存在这个公因子）
有理分式函数在自变量趋向于无穷大的时候，有一个求极限的通式
定理6：彻底理解该定理
6.极限存在准则及两个重要极限
准则I：应用于数列
准则I’：应用于函数
准则I和准则I’都称为夹逼准则
准则II：单调有界数列必有极限 这是充分条件 应用于数列
收敛的数列一定有界，有界的数列不一定收敛。数列有界且单调肯定收敛
这里所说的单调数列是广义的（包括相等情形），与函数不同
准则II’：应用于函数的
柯西极限存在准则（柯西审敛原理）：充分必要条件 应用于数列
7.无穷小的比较
两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小。但是，关于两个无穷小的商，却会出现不同的情况
两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度
定义：不再赘述
定理1：不再赘述
定理2：不再赘述，应用该定理的时候，必须是同一自变量变化范围
8.函数的连续性与间断点
函数连续性的定义：不再赘述
搞清楚极限和连续之间的关系
左连续和右连续：不再赘述
有理整函数在实数区间上是连续的，有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的
函数间断点的定义：满足三个条件之一即可
间断点的分类：如果x0是函数的间断点，但x0处的左极限和右极限都存在，这种间断点称为函数的第一类间断点。除此之外都是第二类间断点。
第一类间断点中左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点是第二类间断点。
9.连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的和、差、积、商的连续性。注意商的定义域
反函数的连续性
定理3：满足该定理，可以交换极限符号
定理4：复合函数的连续性
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
一切初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间
如果已知某函数在某点连续，那么求函数在该点处的极限时，只需要求函数在该点处的函数值即可
如果某函数是初等函数，且某点在其定义区间内，那么函数在该点处的极限值为该点处的函数值
关于幂指函数极限的求法
10.闭区间上连续函数的性质
函数在闭区间上连续的定义
定理1（有界性与最大值最小值定理）：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
定理2（零点定理）：不再赘述
定理3（介值定理）：不再赘述
推论：不再赘述
连续性和一致连续性的区别
如果函数在某个区间上一致连续，那么该函数在该区间上也是连续的，反之不一定成立
定理4（一致连续性定理）：如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上一致连续。