day21 1015 摘花生 （线性DP）

1015. 摘花生

Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。

她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从西北角进去，东南角出来。

地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。

Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。

问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。

输入格式
第一行是一个整数$T$，代表一共有多少组数据。

接下来是$T$组数据。

每组数据的第一行是两个整数，分别代表花生苗的行数$R$和列数 $C$。

每组数据的接下来$R$行数据，从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有$C$个整数，按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目$M$。

输出格式
对每组输入数据，输出一行，内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。

数据范围
$1\le T\le 100,$
$1\le R,C\le 100,$
$0\le M\le 1000$
输入样例：

2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5

输出样例：

8
16

思路：

Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走，也即只能向右或者向下走。

这是一个典型的线性dp问题。

我们把走到一个点看做一个状态，对Hello Kitty来说，走到一个点只有两种方式，一种是从上面下来走到该点，另一种是从左边过来走到该点。即要到达点$(i,j)$，要么是从$(i-1,j)$走到$(i,j)$，要么是从点($i,j-1)$走到$(i,j)$。

我们用$dp[i][j]$来代表走到点$(i,j)$一共摘到的花生。我们需要走到$(n-1,m-1)$，所以可以得到状态转移方程: $dp[i][j]=max(dp[i-1][j]),dp[i][j-1]))+arr[i][j]$。根据转移方程，我们可以推出走到$(n-1,m-1)$处摘到的最多花生。

Java代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int T = scanner.nextInt();

        //共需要处理T组数据
        while(T-- != 0){
    
    
            int n = scanner.nextInt();
            int m = scanner.nextInt();
            int[][] arr = new int[n][m];
            int[][] dp = new int[n][m];
            //读入一组数据
            for(int i = 0;i < n;i++){
    
    
                for(int j = 0; j < m;j++){
    
    
                    arr[i][j] = scanner.nextInt();
                }
            }

            //1. 初始化dp
            dp[0][0] = arr[0][0];
            //第一行的只能从左边过来
            for(int j = 1;j < m;j++) dp[0][j] = dp[0][j - 1] + arr[0][j];
            //第一列只能从上面下来
            for(int i = 1;i < n;i++) dp[i][0] = dp[i - 1][0] + arr[i][0];
            //2. 计算dp
            for(int i = 1;i < n;i++){
    
    
                for(int j = 1;j < m;j++){
    
    
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]) + arr[i][j];
                }
            }
            System.out.println(dp[n- 1][m - 1]);
        }
    }
}